Calculadora de distribución uniforme - PDF, CDF y media
Calcula la función de densidad de probabilidad, la función de distribución acumulada, la media, la varianza y la probabilidad de intervalo para cualquier distribución uniforme continua.
Ingresa el valor mínimo a y el valor máximo b. Opcionalmente, ingresa un punto x para la CDF, o los límites inferior y superior x1/x2 para la probabilidad de intervalo.
Calculadora de distribución uniforme - PDF, CDF y media
Calcula la función de densidad de probabilidad, la función de distribución acumulada, la media, la varianza y la probabilidad de intervalo para cualquier distribución uniforme continua.
Opcional — ingresa x para calcular P(X ≤ x).
Opcional — ingresa x1 y x2 para calcular P(x1 ≤ X ≤ x2).
Acerca de la distribución uniforme
La distribución uniforme continua, a veces llamada distribución rectangular, describe una situación en la que todos los valores de un intervalo dado [a, b] tienen la misma probabilidad de ocurrir. Es la distribución continua más simple y sirve como modelo canónico para fenómenos en los que todos los resultados dentro de un rango son igual de probables, por ejemplo, el momento exacto en que llega un autobús dentro de una ventana programada, o la posición de aterrizaje de una ruleta que se detiene en un instante aleatorio.
La función de densidad de probabilidad (PDF) de la distribución uniforme es constante en todo el intervalo: f(x) = 1/(b − a) para a ≤ x ≤ b, y cero en otro caso. Como el área total bajo la PDF debe ser uno y la forma es un rectángulo plano, la altura del rectángulo es simplemente el recíproco del ancho. Esto hace que la PDF sea fácil de interpretar: cualquier subintervalo del mismo ancho tiene la misma probabilidad, sin importar dónde se encuentre dentro de [a, b].
La función de distribución acumulada (CDF) da la probabilidad de que una observación aleatoria esté en o por debajo de un valor específico x. Para la distribución uniforme, F(x) = (x − a)/(b − a) para a ≤ x ≤ b. Aumenta linealmente desde cero en x = a hasta uno en x = b, reflejando la acumulación constante de probabilidad a medida que x avanza por el intervalo. Para encontrar la probabilidad de que el valor caiga en un intervalo [x1, x2], basta restar: P(x1 ≤ X ≤ x2) = (x2 − x1)/(b − a), que no es más que el ancho del subintervalo dividido por el ancho total.
La media (valor esperado) de la distribución uniforme es el punto medio del intervalo: E[X] = (a + b)/2. Esto tiene sentido intuitivo: si todos los valores son igual de probables, el promedio queda justo en el centro. La varianza mide la desviación cuadrática media respecto de la media y es (b − a)² / 12. Un intervalo más amplio produce una varianza mayor, lo que refleja más incertidumbre sobre dónde caerá el resultado.
La distribución uniforme se usa ampliamente como punto de partida o referencia en simulación, métodos Monte Carlo y generación de números aleatorios. Los generadores de números pseudoaleatorios suelen producir variables aleatorias uniformes en [0, 1], que luego pueden transformarse en otras distribuciones mediante el método de la CDF inversa. En estadística bayesiana, la priori uniforme expresa un estado de completa ignorancia sobre un parámetro dentro de un rango conocido. En ingeniería de confiabilidad y programación, modela tiempos desconocidos de llegada o de fallo cuando solo se conoce el rango.
Entender la distribución uniforme también proporciona una base para comprender distribuciones continuas más complejas. Su simplicidad la hace ideal para enseñar los conceptos de PDF, CDF, valor esperado y varianza antes de introducir las distribuciones normal, exponencial o beta.
Ejemplos de distribución uniforme
Cálculos resueltos usando las fórmulas de la distribución uniforme para escenarios comunes.
| Parámetros | Métricas clave | Aplicación |
|---|---|---|
| a = 0, b = 1 | PDF = 1, Mean = 0.5, Variance = 0.0833 | La distribución uniforme estándar U(0,1), base de todos los generadores de números pseudoaleatorios y del método de transformación por CDF inversa. |
| a = 2, b = 10 | PDF = 0.125, Mean = 6, Variance ≈ 5.333 | Un autobús llega uniformemente entre 2 y 10 minutos. La espera media es de 6 minutos y la varianza es (10−2)²/12 = 64/12 ≈ 5.333. |
| a = 0, b = 60, x1 = 20, x2 = 40 | P(20 ≤ X ≤ 40) = 0.333 | Un minuto aleatorio dentro de una hora. La probabilidad de caer entre el minuto 20 y el 40 es (40−20)/60 = 1/3 ≈ 0.333. |
Cómo usar la calculadora de distribución uniforme
- Ingresa el valor mínimo a en el primer campo y el valor máximo b en el segundo. Asegúrate de que b sea estrictamente mayor que a.
- Haz clic en Calcular para ver al instante la PDF, la media, la varianza y la desviación estándar de tu distribución.
- Opcionalmente, ingresa un valor x en el campo de CDF para calcular P(X ≤ x), la probabilidad de que la variable aleatoria sea como máximo x.
- Opcionalmente, ingresa x1 y x2 para calcular la probabilidad de intervalo P(x1 ≤ X ≤ x2).
- Haz clic en Restablecer para limpiar todos los campos y comenzar un nuevo cálculo.
Preguntas frecuentes sobre la distribución uniforme
¿Para qué se usa la distribución uniforme?
La distribución uniforme modela situaciones en las que todos los resultados dentro de un rango tienen la misma probabilidad. Sus aplicaciones comunes incluyen la generación de números aleatorios, estudios de simulación, priors bayesianos no informativos y modelos de horarios o tiempos de llegada cuando solo se conoce el rango posible.
¿Cómo calculo la probabilidad de un intervalo?
Para una distribución uniforme en [a, b], la probabilidad de que un valor caiga en [x1, x2] es simplemente (x2 − x1) / (b − a). Es proporcional al ancho del subintervalo en relación con el rango total, lo que refleja la PDF plana.
¿Cuál es la diferencia entre PDF y CDF en la distribución uniforme?
La PDF da la densidad en un punto único y es 1/(b−a) para cualquier punto en [a, b]. La CDF da la probabilidad acumulada hasta un punto x y es (x−a)/(b−a). En distribuciones continuas, las probabilidades solo tienen sentido sobre intervalos, no sobre puntos individuales.
¿Por qué la varianza es (b−a)²/12?
La varianza se obtiene integrando (x − media)² × f(x) sobre [a, b], donde f(x) = 1/(b−a). El cálculo se simplifica a (b−a)²/12. Un intervalo más ancho aumenta la varianza proporcionalmente al cuadrado del ancho, ya que los valores están más dispersos respecto de la media.
¿La distribución uniforme es lo mismo que resultados igualmente probables?
Para variables aleatorias continuas, sí. La distribución uniforme es el análogo continuo de un dado justo o de un sorteo aleatorio: cualquier subintervalo de igual longitud tiene la misma probabilidad. Sin embargo, en el caso continuo, la probabilidad de un punto individual es cero; solo las probabilidades de intervalos son distintas de cero.
¿Cómo se relaciona la distribución uniforme estándar U(0,1) con otras distribuciones?
La U(0,1) estándar es el bloque básico para generar cualquier distribución continua. Si U es uniforme en [0,1] y F es la CDF de una distribución objetivo, entonces F⁻¹(U) sigue esa distribución. Este método de transformación inversa es la base de la mayoría de los algoritmos de muestreo aleatorio.