Calculatrice de loi uniforme - PDF, CDF et moyenne
Calculez la fonction de densité de probabilité, la fonction de répartition, la moyenne, la variance et la probabilité d’intervalle pour toute loi uniforme continue.
Saisissez la valeur minimale a et la valeur maximale b. Vous pouvez aussi saisir un point x pour la CDF, ou les bornes x1/x2 pour la probabilité d’intervalle.
Calculatrice de loi uniforme - PDF, CDF et moyenne
Calculez la fonction de densité de probabilité, la fonction de répartition, la moyenne, la variance et la probabilité d’intervalle pour toute loi uniforme continue.
Facultatif — saisissez x pour calculer P(X ≤ x).
Facultatif — saisissez x1 et x2 pour calculer P(x1 ≤ X ≤ x2).
À propos de la loi uniforme
La loi uniforme continue, parfois appelée loi rectangulaire, décrit une situation dans laquelle toutes les valeurs d’un intervalle donné [a, b] sont également susceptibles d’apparaître. C’est la distribution de probabilité continue la plus simple et le modèle canonique des phénomènes où tous les résultats d’une plage sont également probables — par exemple, l’instant précis d’arrivée d’un bus dans une fenêtre horaire donnée, ou la position d’arrêt d’une roue tournée à un moment aléatoire.
La fonction de densité de probabilité (PDF) de la loi uniforme est constante sur tout l’intervalle : f(x) = 1/(b − a) pour a ≤ x ≤ b, et nulle ailleurs. Comme l’aire totale sous la PDF doit être égale à un et que la forme est un rectangle plat, la hauteur du rectangle est simplement l’inverse de sa largeur. Cela rend la PDF facile à interpréter : tout sous-intervalle de même largeur a la même probabilité, quelle que soit sa position dans [a, b].
La fonction de répartition (CDF) donne la probabilité qu’une observation aléatoire soit inférieure ou égale à une valeur x donnée. Pour la loi uniforme, F(x) = (x − a)/(b − a) pour a ≤ x ≤ b. Elle croît linéairement de zéro en x = a à un en x = b, ce qui reflète l’accumulation régulière de probabilité à mesure que x parcourt l’intervalle. Pour trouver la probabilité qu’une valeur se situe dans l’intervalle [x1, x2], il suffit de soustraire : P(x1 ≤ X ≤ x2) = (x2 − x1)/(b − a), soit la largeur du sous-intervalle divisée par la largeur totale.
La moyenne (espérance) de la loi uniforme est le milieu de l’intervalle : E[X] = (a + b)/2. C’est intuitif : si toutes les valeurs sont également probables, la valeur moyenne se trouve au centre. La variance mesure l’écart quadratique moyen par rapport à la moyenne et vaut (b − a)² / 12. Un intervalle plus large produit une variance plus grande, ce qui traduit une incertitude accrue sur la position de la valeur obtenue.
La loi uniforme est largement utilisée comme point de départ ou référence en simulation, en méthodes de Monte Carlo et en génération de nombres aléatoires. Les générateurs pseudo-aléatoires produisent généralement des variables uniformes sur [0, 1], qui peuvent ensuite être transformées en d’autres lois à l’aide de la méthode de la CDF inverse. En statistique bayésienne, le prior uniforme exprime un état d’ignorance complète sur un paramètre dans une plage connue. En ingénierie de fiabilité et en planification, il modélise des temps d’arrivée ou de défaillance inconnus lorsque seule la plage est connue.
Comprendre la loi uniforme fournit aussi une base pour appréhender des distributions continues plus complexes. Sa simplicité en fait un excellent support pour enseigner la PDF, la CDF, l’espérance et la variance avant d’introduire les lois normale, exponentielle ou bêta.
Exemples de loi uniforme
Calculs appliqués à l’aide des formules de la loi uniforme pour des situations courantes.
| Paramètres | Indicateurs clés | Application |
|---|---|---|
| a = 0, b = 1 | PDF = 1, Mean = 0.5, Variance = 0.0833 | La loi uniforme standard U(0,1), fondement de tous les générateurs de nombres pseudo-aléatoires et de la méthode de transformation par CDF inverse. |
| a = 2, b = 10 | PDF = 0.125, Mean = 6, Variance ≈ 5.333 | Un bus arrive uniformément entre 2 et 10 minutes. Le temps d’attente moyen est de 6 minutes, et la variance vaut (10−2)²/12 = 64/12 ≈ 5.333. |
| a = 0, b = 60, x1 = 20, x2 = 40 | P(20 ≤ X ≤ 40) = 0.333 | Une minute prise au hasard dans une heure. La probabilité de tomber entre la 20e et la 40e minute est (40−20)/60 = 1/3 ≈ 0.333. |
Comment utiliser la calculatrice de loi uniforme
- Saisissez la valeur minimale a dans le premier champ et la valeur maximale b dans le second. Assurez-vous que b est strictement supérieur à a.
- Cliquez sur Calculer pour afficher immédiatement la PDF, la moyenne, la variance et l’écart type de votre distribution.
- Vous pouvez aussi saisir une valeur x dans le champ CDF pour calculer P(X ≤ x), c’est-à-dire la probabilité que la variable aléatoire soit au plus x.
- Vous pouvez également saisir x1 et x2 pour calculer la probabilité d’intervalle P(x1 ≤ X ≤ x2).
- Cliquez sur Réinitialiser pour effacer tous les champs et lancer un nouveau calcul.
FAQ sur la loi uniforme
À quoi sert la loi uniforme ?
La loi uniforme modélise les situations dans lesquelles tous les résultats d’une plage ont la même probabilité. Les usages courants incluent la génération de nombres aléatoires, les études de simulation, les a priori non informatifs bayésiens et les modèles de planification ou d’arrivée lorsque seule la plage de valeurs possibles est connue.
Comment calculer la probabilité d’un intervalle ?
Pour une loi uniforme sur [a, b], la probabilité qu’une valeur se trouve dans [x1, x2] est simplement (x2 − x1) / (b − a). Elle est proportionnelle à la largeur du sous-intervalle par rapport à la plage totale, ce qui reflète la PDF plate.
Quelle est la différence entre PDF et CDF pour la loi uniforme ?
La PDF donne la densité en un point et vaut 1/(b−a) pour tout point de [a, b]. La CDF donne la probabilité cumulée jusqu’à une valeur x et vaut (x−a)/(b−a). Pour les distributions continues, les probabilités n’ont de sens que sur des intervalles, pas sur des points isolés.
Pourquoi la variance vaut-elle (b−a)²/12 ?
La variance se déduit en intégrant (x − moyenne)² × f(x) sur [a, b], où f(x) = 1/(b−a). Le calcul se simplifie en (b−a)²/12. Un intervalle plus large augmente la variance proportionnellement au carré de sa largeur, car les valeurs sont plus dispersées autour de la moyenne.
La loi uniforme correspond-elle à des issues également probables ?
Pour les variables aléatoires continues, oui. La loi uniforme est l’analogue continu d’un dé équilibré ou d’un tirage aléatoire : tout sous-intervalle de même longueur a la même probabilité. En revanche, dans le cas continu, la probabilité d’un point isolé est nulle ; seules les probabilités d’intervalle sont non nulles.
Comment la loi uniforme standard U(0,1) se relie-t-elle aux autres lois ?
La loi uniforme standard U(0,1) est la brique de base pour générer n’importe quelle distribution continue. Si U est uniforme sur [0,1] et F est la CDF de la distribution cible, alors F⁻¹(U) suit cette distribution cible. Cette méthode de transformation inverse est à la base de la plupart des algorithmes d’échantillonnage aléatoire.