Calculatrice de distribution uniforme - PDF, CDF et moyenne
Calculez la fonction de densité de probabilité, la fonction de répartition, la moyenne, la variance et la probabilité d’intervalle pour toute distribution uniforme continue.
Entrez la valeur minimale a et la valeur maximale b. Vous pouvez aussi saisir un point x pour la CDF, ou les bornes x1/x2 pour la probabilité d’intervalle.
Calculatrice de distribution uniforme - PDF, CDF et moyenne
Calculez la fonction de densité de probabilité, la fonction de répartition, la moyenne, la variance et la probabilité d’intervalle pour toute distribution uniforme continue.
Facultatif — saisissez x pour calculer P(X ≤ x).
Facultatif — saisissez x1 et x2 pour calculer P(x1 ≤ X ≤ x2).
À propos de la distribution uniforme
La distribution uniforme continue, parfois appelée distribution rectangulaire, décrit une situation dans laquelle chaque valeur d’un intervalle donné [a, b] a la même probabilité d’apparaître. C’est la distribution continue la plus simple et elle sert de modèle canonique pour les phénomènes où tous les résultats d’une plage sont également probables — par exemple, le moment précis où un bus arrive dans une fenêtre horaire prévue, ou la position d’atterrissage d’une roue qui s’arrête à un instant aléatoire.
La fonction de densité de probabilité (PDF) de la distribution uniforme est constante sur tout l’intervalle : f(x) = 1/(b − a) pour a ≤ x ≤ b, et zéro ailleurs. Comme l’aire totale sous la PDF doit être égale à un et que la forme est un rectangle plat, la hauteur du rectangle est simplement l’inverse de sa largeur. La PDF est donc facile à interpréter : deux sous-intervalles de même largeur ont la même probabilité, quelle que soit leur position dans [a, b].
La fonction de répartition (CDF) donne la probabilité qu’une observation aléatoire soit inférieure ou égale à une valeur x donnée. Pour la distribution uniforme, F(x) = (x − a)/(b − a) pour a ≤ x ≤ b. Elle augmente linéairement de zéro en x = a à un en x = b, ce qui reflète l’accumulation régulière de probabilité à mesure que x parcourt l’intervalle. Pour trouver la probabilité qu’une valeur se trouve dans un intervalle [x1, x2], il suffit de soustraire : P(x1 ≤ X ≤ x2) = (x2 − x1)/(b − a), soit la largeur du sous-intervalle divisée par la largeur totale.
La moyenne (espérance) de la distribution uniforme est le milieu de l’intervalle : E[X] = (a + b)/2. C’est intuitif : si toutes les valeurs sont également probables, la valeur moyenne se situe exactement au centre. La variance mesure l’écart quadratique moyen par rapport à la moyenne et vaut (b − a)² / 12. Un intervalle plus large produit une variance plus grande, ce qui traduit une incertitude plus forte sur la position de la valeur.
La distribution uniforme est largement utilisée comme point de départ ou référence en simulation, dans les méthodes de Monte Carlo et pour la génération de nombres aléatoires. Les générateurs pseudo-aléatoires produisent généralement des variables uniformes sur [0, 1], ensuite transformées en d’autres distributions à l’aide de la méthode de la CDF inverse. En statistique bayésienne, une loi a priori uniforme exprime un état d’ignorance totale sur un paramètre à l’intérieur d’une plage connue. En ingénierie de la fiabilité et en planification, elle modélise des temps d’arrivée ou de défaillance inconnus lorsque seule la plage est connue.
Comprendre la distribution uniforme fournit aussi une base solide pour aborder des distributions continues plus complexes. Sa simplicité en fait un excellent support pour enseigner la PDF, la CDF, l’espérance et la variance avant d’introduire les distributions normale, exponentielle ou bêta.
Exemples de distribution uniforme
Calculs appliqués avec les formules de la distribution uniforme pour des cas courants.
| Paramètres | Indicateurs clés | Application |
|---|---|---|
| a = 0, b = 1 | PDF = 1, Mean = 0.5, Variance = 0.0833 | La distribution uniforme standard U(0,1), fondement de tous les générateurs de nombres pseudo-aléatoires et de la méthode de transformation par CDF inverse. |
| a = 2, b = 10 | PDF = 0.125, Mean = 6, Variance ≈ 5.333 | Un bus arrive uniformément entre 2 et 10 minutes. Le temps d’attente moyen est de 6 minutes, et la variance vaut (10−2)²/12 = 64/12 ≈ 5.333. |
| a = 0, b = 60, x1 = 20, x2 = 40 | P(20 ≤ X ≤ 40) = 0.333 | Une minute aléatoire dans une heure. La probabilité de tomber entre la minute 20 et la minute 40 est (40−20)/60 = 1/3 ≈ 0.333. |
Comment utiliser la calculatrice de distribution uniforme
- Entrez la valeur minimale a dans le premier champ et la valeur maximale b dans le second. Assurez-vous que b soit strictement supérieur à a.
- Cliquez sur Calculer pour voir instantanément la PDF, la moyenne, la variance et l’écart-type de votre distribution.
- Vous pouvez aussi saisir une valeur x dans le champ CDF pour calculer P(X ≤ x), la probabilité que la variable aléatoire soit au plus x.
- Vous pouvez également entrer x1 et x2 pour calculer la probabilité d’intervalle P(x1 ≤ X ≤ x2).
- Cliquez sur Réinitialiser pour effacer tous les champs et recommencer un nouveau calcul.
FAQ sur la distribution uniforme
À quoi sert la distribution uniforme ?
La distribution uniforme modélise les situations où chaque résultat dans une plage est également probable. Ses usages courants incluent la génération de nombres aléatoires, les études de simulation, les priors bayésiens non informatifs et les modèles d’horaires ou de temps d’arrivée lorsque seule la plage possible est connue.
Comment calculer la probabilité d’un intervalle ?
Pour une distribution uniforme sur [a, b], la probabilité qu’une valeur se trouve dans [x1, x2] est simplement (x2 − x1) / (b − a). Elle est proportionnelle à la largeur du sous-intervalle par rapport à l’intervalle total, ce qui reflète la PDF plate.
Quelle est la différence entre PDF et CDF pour la distribution uniforme ?
La PDF donne la densité en un point donné et vaut 1/(b−a) pour tout point de [a, b]. La CDF donne la probabilité cumulée jusqu’au point x et vaut (x−a)/(b−a). Pour les distributions continues, les probabilités n’ont de sens que sur des intervalles, pas sur des points isolés.
Pourquoi la variance est-elle égale à (b−a)²/12 ?
La variance est obtenue en intégrant (x − moyenne)² × f(x) sur [a, b], où f(x) = 1/(b−a). Le calcul se simplifie en (b−a)²/12. Un intervalle plus large augmente la variance proportionnellement au carré de la largeur, car les valeurs sont plus éloignées de la moyenne.
La distribution uniforme correspond-elle à des résultats également probables ?
Pour les variables aléatoires continues, oui. La distribution uniforme est l’analogue continu d’un dé équilibré ou d’un tirage aléatoire — tout sous-intervalle de même longueur a la même probabilité. En revanche, dans le cas continu, la probabilité d’un point isolé est nulle ; seules les probabilités d’intervalle sont non nulles.
Comment la distribution uniforme standard U(0,1) se relie-t-elle aux autres distributions ?
La distribution uniforme standard U(0,1) est le bloc de base pour générer n’importe quelle distribution continue. Si U est uniforme sur [0,1] et F la CDF d’une distribution cible, alors F⁻¹(U) suit cette distribution cible. Cette méthode de transformation inverse est à la base de la plupart des algorithmes d’échantillonnage aléatoire.