Calculadora de distribuição de Poisson
Calcule probabilidades de Poisson exatas e acumuladas
Insira a taxa média de eventos (λ) e o número de sucessos (x) para calcular instantaneamente as principais probabilidades de Poisson.
Calculadora de distribuição de Poisson
Calcule probabilidades de Poisson exatas e acumuladas
Sobre a calculadora de distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é uma das distribuições de probabilidade discretas mais importantes em estatística e matemática aplicada. Nomeada em homenagem ao matemático francês Siméon Denis Poisson, ela descreve a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço quando esses eventos acontecem de forma independente e a uma taxa média constante conhecida.
A distribuição é completamente caracterizada por um único parâmetro, λ (lambda), que representa o número médio de eventos no intervalo dado. Por exemplo, se uma central de atendimento recebe em média 10 ligações por hora, λ = 10. A probabilidade de receber exatamente x ligações em uma hora segue a distribuição de Poisson com esse lambda.
A função de massa de probabilidade (PMF) de Poisson é: P(X = x) = (e^−λ × λ^x) / x!, em que e ≈ 2.71828 é o número de Euler e x! é o fatorial de x. Essa fórmula elegante permite calcular probabilidades exatas para qualquer inteiro não negativo x.
Uma propriedade notável da distribuição de Poisson é que sua média e sua variância são ambas iguais a λ. Isso significa que o desvio padrão é igual a √λ. À medida que λ aumenta, a distribuição se torna mais simétrica e se aproxima de uma distribuição normal, um fato útil para aplicações em grande escala.
Esta calculadora calcula cinco valores de probabilidade essenciais: P(X = x) para a contagem exata, P(X < x) para estritamente menos eventos, P(X ≤ x) para no máximo x eventos, P(X > x) para estritamente mais eventos e P(X ≥ x) para pelo menos x eventos. Essas formas acumuladas são obtidas somando a PMF no intervalo relevante.
A distribuição de Poisson é amplamente aplicada em ciência, engenharia, finanças e medicina. Seguradoras a usam para modelar a frequência de sinistros. Engenheiros de telecomunicações a aplicam para analisar taxas de chegada de chamadas e fluxos de pacotes de rede. Equipes de controle de qualidade a utilizam para modelar o número de defeitos por unidade de área. Epidemiologistas a empregam para modelar taxas de ocorrência de doenças em populações.
A distribuição também surge como um caso limite da distribuição binomial quando o número de tentativas n é muito grande e a probabilidade de sucesso p é muito pequena, com np = λ. Essa conexão torna o modelo de Poisson útil para modelar eventos raros.
Ao usar esta calculadora, certifique-se de que os eventos que você está modelando sejam realmente independentes e ocorram a uma taxa média constante. Se a taxa variar ao longo do intervalo — por exemplo, se o tráfego web for maior durante o horário comercial — um modelo de Poisson padrão pode não ser adequado, e talvez você precise de um processo de Poisson não homogêneo ou de outra distribuição.
Exemplos
Estes exemplos demonstram cálculos de probabilidade de Poisson para cenários comuns do mundo real.
| Entradas (λ, x) | P(X = x) | Contexto |
|---|---|---|
| λ = 3, x = 2 | 0.22404 | Central de atendimento: média 3 ligações/min, P(exatamente 2) |
| λ = 5, x = 4 | 0.17547 | Defeitos por unidade: média 5, P(exatamente 4) |
| λ = 2, x = 0 | 0.13534 | Acidentes por mês: média 2, P(zero acidentes) |
| λ = 10, x = 8 | 0.11260 | Requisições ao servidor: média 10/s, P(exatamente 8) |
Como usar esta calculadora
- Insira a taxa média de eventos (λ); ela deve ser um número decimal não negativo, por exemplo, 3 ou 2.5.
- Insira o número de eventos de interesse (x); ele deve ser um número inteiro não negativo, por exemplo, 0, 1, 2.
- Clique em 'Calcular' para calcular todas as cinco probabilidades de Poisson e as estatísticas da distribuição.
- Revise P(X = x) para a probabilidade exata e os valores acumulados para consultas baseadas em intervalo.
- Clique em 'Redefinir' para limpar todos os campos e iniciar um novo cálculo.
Perguntas frequentes
O que é a distribuição de Poisson?
A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que modela o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço. Ela é governada por um único parâmetro λ (lambda), o número médio de eventos por intervalo. Aplica-se quando os eventos são independentes e ocorrem a uma taxa média constante.
O que λ (lambda) representa?
Lambda (λ) é o número médio de eventos no intervalo definido. Por exemplo, se um site recebe em média 50 visitas por minuto, λ = 50. Lambda deve ser um número real não negativo. Tanto a média quanto a variância da distribuição de Poisson são iguais a λ.
Qual é a diferença entre P(X = x) e P(X ≤ x)?
P(X = x) é a probabilidade exata de observar precisamente x eventos. P(X ≤ x) é a probabilidade acumulada de observar x ou menos eventos, calculada somando P(X = k) para k = 0 até x. Use a forma acumulada quando precisar saber a chance de ocorrerem 'no máximo x' eventos.
Quando devo usar a distribuição de Poisson?
Use a distribuição de Poisson quando estiver contando o número de eventos independentes em um intervalo fixo e a taxa média for conhecida e constante. Exemplos clássicos incluem chegadas de chamadas, contagens de decaimento radioativo, taxas de defeitos e requisições a servidores web. Se os eventos forem dependentes ou a taxa variar, considere modelos alternativos.
λ pode ser não inteiro?
Sim. λ pode ser qualquer número real não negativo, incluindo decimais como 2.7 ou 0.5. Apenas x (o número de sucessos) deve ser um inteiro não negativo. Valores fracionários de λ surgem naturalmente; por exemplo, quando ocorrem em média 3 eventos a cada 2 horas, λ = 1.5 por hora.
Qual é a relação entre as distribuições de Poisson e binomial?
A distribuição de Poisson é um caso limite da distribuição binomial. Quando o número de tentativas n é muito grande e a probabilidade p de sucesso por tentativa é muito pequena, de modo que np → λ, a distribuição binomial converge para a distribuição de Poisson. Isso torna Poisson uma aproximação útil para contar eventos raros em populações grandes.