Calculadora de ângulo duplo

Calcule sin(2x), cos(2x) e tan(2x) usando identidades de ângulo duplo — informe um ângulo em graus ou radianos para obter resultados instantâneos.

Digite um ângulo, selecione a unidade e escolha quais fórmulas de ângulo duplo exibir.

Calcule sin(2x), cos(2x) e tan(2x) usando identidades de ângulo duplo — informe um ângulo em graus ou radianos para obter resultados instantâneos.

Ângulo (x)

Unidade

Tipo de fórmula

Sobre a calculadora de ângulo duplo

As fórmulas de ângulo duplo são identidades trigonométricas que expressam sin(2x), cos(2x) e tan(2x) em termos de sin(x) e cos(x). Elas estão entre as identidades mais usadas em trigonometria, cálculo, física e engenharia, porque permitem reduzir o argumento de uma função trigonométrica pela metade. As três identidades principais de ângulo duplo são: sin(2x) = 2 sin(x) cos(x); cos(2x) = cos²(x) − sin²(x), que também pode ser escrito como 2cos²(x) − 1 ou 1 − 2sin²(x); e tan(2x) = 2tan(x) / (1 − tan²(x)). A tan(2x) é indefinida quando cos(2x) = 0, isto é, quando 2x = 90°, 270° etc. A fórmula de ângulo duplo do seno sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) vem diretamente da fórmula de adição sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) quando a = b = x. Aplicando a mesma ideia a cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b), obtemos cos(2x) = cos²(x) − sin²(x). Usando a identidade pitagórica sin²(x) + cos²(x) = 1, você pode substituir sin²(x) = 1 − cos²(x) e obter cos(2x) = 2cos²(x) − 1, ou substituir cos²(x) = 1 − sin²(x) e obter cos(2x) = 1 − 2sin²(x). As três formas da fórmula de ângulo duplo do cosseno são equivalentes e úteis em contextos diferentes. Em cálculo, as fórmulas de ângulo duplo são essenciais para integrar produtos de seno e cosseno. Por exemplo, a integral de sin(x)cos(x) fica mais simples ao reconhecer que o integrando equivale a (1/2)sin(2x), facilitando a antiderivação. Da mesma forma, integrais de sin²(x) e cos²(x) são tratadas reescrevendo-as com as formas de meia-ângulo derivadas da fórmula de cosseno de ângulo duplo. Na física, identidades de ângulo duplo aparecem em mecânica ondulatória, óptica e mecânica. A fórmula de alcance de um projétil, R = (v²/g)sin(2θ), usa o seno de ângulo duplo para expressar o alcance máximo em função do ângulo de lançamento. Padrões de interferência óptica, osciladores harmônicos e máquinas rotativas também envolvem combinações de funções trigonométricas em que identidades de ângulo duplo simplificam a análise. Esta calculadora aceita qualquer ângulo em graus ou radianos. Ela converte a entrada para radianos internamente, calcula sin(x) e cos(x) e então aplica as identidades para produzir sin(2x), cos(2x) e tan(2x). Quando tan(2x) é indefinida (quando o ângulo duplo é um múltiplo ímpar de 90°), a calculadora exibe explicitamente “Indefinido” em vez de um número grande ou enganoso. Os resultados são exibidos com dez algarismos significativos para precisão.

Exemplos de fórmula de ângulo duplo

Ângulos de referência comuns com seus valores exatos ou altamente precisos do ângulo duplo.

Ângulo (x)	sin(2x) / cos(2x) / tan(2x)	Observações
x = 30°	sin(60°) = 0.866, cos(60°) = 0.5, tan(60°) = 1.732	sin(2×30°) = 2 sin30° cos30° = 2 × 0.5 × 0.866 = 0.866. Um ângulo de referência comum com valores exatos.
x = 45°	sin(90°) = 1, cos(90°) = 0, tan(90°) = Indefinido	Dobrar 45° resulta em 90°. sin(90°) = 1, cos(90°) = 0. A tangente é indefinida porque cos(90°) = 0.
x = 60°	sin(120°) = 0.866, cos(120°) = −0.5, tan(120°) = −1.732	O ângulo duplo 120° está no segundo quadrante: o seno é positivo, o cosseno é negativo e a tangente é negativa.
x = π/6 rad (≈ 0.5236)	sin(π/3) ≈ 0.866, cos(π/3) = 0.5, tan(π/3) ≈ 1.732	π/6 radianos equivale a 30°. O resultado é idêntico ao primeiro exemplo, confirmando a conversão de unidade.

Como usar a calculadora de ângulo duplo

Digite o valor do ângulo x no campo Ângulo. Qualquer número real é aceito — positivo, negativo ou zero.
Selecione a unidade: Graus para ângulos comuns como 30°, 45° e 60°, ou Radianos para valores como π/6.
Escolha o Tipo de fórmula: Todas as fórmulas mostra sin(2x), cos(2x) e tan(2x); ou selecione apenas uma fórmula se precisar de um único resultado.
Clique em Calcular. O painel de resultados mostra os valores calculados para as fórmulas selecionadas e marca tan(2x) como Indefinido quando aplicável.
Clique em Redefinir para limpar as entradas ou altere o ângulo e a unidade para explorar outros valores.

Perguntas frequentes sobre a calculadora de ângulo duplo

Qual é a fórmula de ângulo duplo para o seno?

A fórmula de ângulo duplo para o seno é sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). Ela é derivada da fórmula de soma sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), definindo a e b como x. Essa identidade é usada em integração, física e processamento de sinais.

Por que existem três versões da fórmula de ângulo duplo para o cosseno?

As três versões — cos(2x) = cos²x − sin²x, cos(2x) = 2cos²x − 1 e cos(2x) = 1 − 2sin²x — são equivalentes. A primeira vem diretamente da fórmula de soma do cosseno. As outras duas são obtidas substituindo a identidade pitagórica sin²x + cos²x = 1. Formas diferentes são úteis em contextos diferentes de integração e simplificação.

Quando tan(2x) é indefinida?

tan(2x) é indefinida sempre que cos(2x) = 0, o que ocorre quando 2x = 90° + 180°k para qualquer inteiro k, isto é, quando x = 45° + 90°k. Nesses ângulos, a fórmula tan(2x) = 2tan(x)/(1 − tan²x) envolve divisão por zero, e a própria tangente tende a ±∞.

Como as fórmulas de ângulo duplo são usadas em cálculo?

As fórmulas de ângulo duplo são essenciais para calcular integrais de potências de funções trigonométricas. Por exemplo, ∫sin²(x)dx = ∫(1 − cos(2x))/2 dx, que é simples de integrar. Sem essas identidades, essas integrais exigiriam técnicas muito mais complexas.

As fórmulas de ângulo duplo podem ser aplicadas a ângulos negativos?

Sim. Como sin e cos são definidas para todos os números reais, as fórmulas de ângulo duplo também funcionam para ângulos negativos. Por exemplo, sin(2 × (−30°)) = sin(−60°) = −sin(60°) ≈ −0.866. A calculadora aceita qualquer número real como entrada de ângulo.

Qual é a relação entre fórmulas de ângulo duplo e fórmulas de meia-ângulo?

As fórmulas de meia-ângulo são derivadas substituindo x por x/2 nas fórmulas de ângulo duplo. Por exemplo, a partir de cos(2x) = 1 − 2sin²x, substituindo x → x/2 obtemos cos(x) = 1 − 2sin²(x/2), que pode ser reescrito como sin²(x/2) = (1 − cos x)/2. Essas fórmulas são úteis para calcular valores trigonométricos de ângulos que são metade de ângulos de referência conhecidos.