Calculadora de inequações quadráticas

Uma inequação quadrática é uma desigualdade que envolve uma expressão quadrática — isto é, um polinômio de grau 2 — comparada a um valor usando <, ≤, > ou ≥. A forma mais comum é ax² + bx + c > 0 ou ax² + bx + c < 0, em que a ≠ 0. Diferente de uma equação quadrática, que procura valores específicos de x que tornam a expressão igual a zero, uma inequação quadrática procura todos os valores de x que tornam a expressão positiva, negativa, não positiva ou não negativa. A resposta normalmente é um intervalo ou uma união de intervalos na reta real. A chave para resolver uma inequação quadrática é entender a parábola y = ax² + bx + c. O sinal de a determina se a parábola abre para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0). As interseções com o eixo x — as raízes da equação correspondente ax² + bx + c = 0 — são os pontos em que a parábola cruza ou toca o eixo x. O discriminante Δ = b² − 4ac informa quantas raízes reais existem: se Δ > 0 há duas raízes reais distintas, se Δ = 0 há exatamente uma (raiz dupla) e se Δ < 0 não há raízes reais. Para resolver ax² + bx + c > 0 quando Δ > 0 e a > 0: a parábola abre para cima e fica abaixo do eixo x entre suas duas raízes. Portanto, a expressão é positiva fora das raízes — isto é, para x < r₁ ou x > r₂. Para a inequação < 0 nas mesmas condições, a solução é o intervalo entre as raízes: r₁ < x < r₂. Quando a < 0, a parábola abre para baixo e esses casos se invertem. Quando Δ = 0 há um único ponto de contato. Para a > 0, a expressão é ≥ 0 para todo x (tocando zero apenas na raiz dupla) e não é < 0 para nenhum x. Quando Δ < 0 e a > 0, a parábola nunca cruza o eixo x e permanece totalmente acima dele, então ax² + bx + c > 0 para todo x real e a inequação < 0 não tem solução. Inequações quadráticas aparecem em movimento de projéteis (quando o projétil está acima de certa altura?), otimização (para quais entradas o custo supera a receita?), processamento de sinais (faixas de frequência) e tolerâncias de engenharia. A fórmula do discriminante b² − 4ac e a fórmula quadrática x = (−b ± √Δ) / (2a) são as duas ferramentas principais da análise. Esta calculadora recebe os coeficientes a, b e c e o sinal da inequação, calcula o discriminante, encontra as raízes reais, determina o vértice e descreve o conjunto solução tanto em linguagem simples quanto em notação de intervalos. A direção de abertura da parábola também é informada para ajudar você a visualizar o gráfico.