이차부등식 그래프 계산기
ax² + bx + c op 0 형태의 이차부등식을 분석하고 그래프로 그려 근, 꼭짓점, 해집합, 구간 표기를 확인합니다.
계수 a, b, c를 입력하고 부등호를 선택하면 포물선을 분석해 해집합을 구합니다.
이차부등식 그래프 계산기
ax² + bx + c op 0 형태의 이차부등식을 분석하고 그래프로 그려 근, 꼭짓점, 해집합, 구간 표기를 확인합니다.
이차부등식 계산기 소개
이차부등식은 이차식, 즉 2차 다항식을 <, ≤, >, ≥와 비교하는 부등식입니다. 가장 흔한 형태는 ax² + bx + c > 0 또는 ax² + bx + c < 0이며, a ≠ 0입니다. 이차방정식이 식을 0으로 만드는 특정 x 값을 찾는 것과 달리, 이차부등식은 식이 양수, 음수, 비양수, 비음수가 되는 모든 x 값을 찾습니다. 답은 보통 실수축의 하나의 구간 또는 여러 구간의 합집합입니다.
이차부등식을 푸는 핵심은 포물선 y = ax² + bx + c를 이해하는 것입니다. a의 부호는 포물선이 위로 열리는지(a > 0), 아래로 열리는지(a < 0)를 결정합니다. x절편, 즉 대응하는 방정식 ax² + bx + c = 0의 근은 포물선이 x축을 지나가거나 접하는 지점입니다. 판별식 Δ = b² − 4ac는 실근의 개수를 알려 줍니다. Δ > 0이면 서로 다른 실근 2개, Δ = 0이면 정확히 1개(중근), Δ < 0이면 실근이 없습니다.
Δ > 0이고 a > 0일 때 ax² + bx + c > 0을 풀면, 포물선은 위로 열리고 두 근 사이에서 x축 아래로 내려가므로 식이 양수인 곳은 근 바깥쪽입니다. 즉 x < r₁ 또는 x > r₂입니다. 같은 조건에서 < 0의 해는 두 근 사이 구간, 즉 r₁ < x < r₂입니다. a < 0이면 포물선이 아래로 열리므로 이 관계는 반대가 됩니다.
Δ = 0이면 한 점에서만 접합니다. a > 0이면 식은 모든 x에서 ≥ 0이고(중근에서만 0), < 0인 x는 없습니다. Δ < 0이고 a > 0이면 포물선은 x축을 절대 만나지 않고 항상 그 위에 있으므로 ax² + bx + c > 0은 모든 실수 x에서 성립하고, < 0은 해가 없습니다.
이차부등식은 포물선 운동(물체가 특정 높이보다 위에 있는 때), 최적화(어떤 입력에서 비용이 수익보다 큰가), 신호 처리(주파수 대역), 공학 공차 분석 등에 등장합니다. 판별식 b² − 4ac와 이차 공식 x = (−b ± √Δ) / (2a)는 분석의 핵심 도구입니다.
이 계산기는 계수 a, b, c와 부등호를 받아 판별식을 계산하고, 실근을 찾고, 꼭짓점을 구한 뒤, 일반 언어와 구간 표기로 해집합을 보여 줍니다. 포물선의 개방 방향도 함께 알려 주어 그래프를 쉽게 떠올릴 수 있습니다.
이차부등식 예시
위로 열린/아래로 열린 포물선, 서로 다른 두 근, 중근을 포함한 4가지 경우입니다.
| 부등식 | 해집합 | 설명 |
|---|---|---|
| x² − 4x + 3 > 0 (a=1, b=−4, c=3) | (-∞, 1) ∪ (3, ∞) | 포물선이 위로 열리고 근은 x=1, x=3입니다. 식이 양수인 곳은 근 바깥쪽입니다. |
| −x² + 2x + 3 ≤ 0 (a=−1, b=2, c=3) | (-∞, −1] ∪ [3, ∞) | 포물선이 아래로 열리고 근은 x=−1, x=3입니다. 식이 비양수인 곳은 근 바깥쪽입니다. |
| 2x² + 3x + 4 < 0 (a=2, b=3, c=4) | 해 없음 | 판별식 Δ = 9 − 32 = −23 < 0이고 a > 0이므로 식은 항상 양수입니다. |
| x² − 6x + 9 ≥ 0 (a=1, b=−6, c=9) | 모든 실수 | x=3에서 중근(완전제곱)입니다. 식은 x=3에서만 0이고 그 밖에는 양수입니다. |
이차부등식 계산기 사용법
- 계수 a(x² 항), b(x 항), c(상수항)를 입력합니다. a는 0이 될 수 없습니다.
- 드롭다운에서 >, ≥, <, ≤ 중 하나를 선택합니다.
- ‘부등식 그래프’를 클릭합니다. 계산기는 판별식을 계산하고, 근이 있으면 찾고, 꼭짓점을 구한 뒤, 전체 해집합을 결정합니다.
- 결과 패널에서 구간 표기의 해집합을 읽습니다. ∪ 기호는 해가 두 개의 서로 떨어진 구간으로 이루어졌음을 뜻합니다.
- ‘초기화’를 사용해 모든 항목을 지우고 새 문제를 시작합니다.
이차부등식 계산기 FAQ
이차부등식이란 무엇인가요?
이차부등식은 ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0, ≥, ≤ 같은 형태의 부등식이며, a ≠ 0입니다. 방정식처럼 특정 x를 구하는 대신, 부등식을 만족하는 모든 x를 찾습니다. 보통 하나의 범위 또는 여러 범위의 합집합입니다.
최고차항 계수 a의 부호는 해에 어떤 영향을 주나요?
a > 0이면 포물선이 위로 열리므로 식은 두 근 사이에서 음수, 바깥쪽에서 양수입니다. a < 0이면 포물선이 아래로 열리므로 식은 두 근 사이에서 양수, 바깥쪽에서 음수입니다. a의 부호를 바꾸면 해집합도 사실상 뒤집힙니다.
판별식이 음수면 어떻게 되나요?
Δ = b² − 4ac < 0이면 포물선은 x축과 만나지 않습니다. a > 0이면 식은 항상 양수이므로 ax²+bx+c > 0은 모든 실수 x에서 성립하고(해집합 = ℝ), ax²+bx+c < 0은 해가 없습니다. a < 0이면 반대입니다.
중근이란 무엇이며 해에 어떤 의미가 있나요?
Δ = 0이면 중근이 생기며, 포물선이 정확히 한 점에서 x축에 닿는다는 뜻입니다. a > 0이면 식은 모든 x에서 ≥ 0이고(≥의 해는 모든 실수), < 0인 경우는 절대 없습니다. ≤ 부등식에서 중근이 r이면 해는 단 하나의 점 x = r뿐입니다.
결과의 구간 표기는 어떻게 읽나요?
괄호 ( )는 끝점을 포함하지 않는 엄격한 경계(>, <에 사용), 대괄호 [ ]는 끝점을 포함하는 경계(≥, ≤에 사용)입니다. ∪는 ‘합집합’을 뜻하며, 해가 두 구간 중 어느 하나에 속하는 모든 수의 집합입니다.
해집합이 모든 실수가 될 수도 있나요?
네. a > 0이고 Δ < 0이면 ax² + bx + c는 모든 실수 x에서 0보다 크므로 ax²+bx+c > 0(또는 ≥ 0)의 해집합은 ℝ입니다. 마찬가지로 a < 0이고 Δ < 0이면 ax²+bx+c는 모든 실수 x에서 0보다 작습니다.
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