잔차 계산기 - 선형 회귀 잔차

잔차는 관측값과 통계 모델이 예측한 값의 차이입니다. 단순 선형 회귀에서는 i번째 관측의 잔차를 e_i = y_i − ŷ_i로 정의하며, 여기서 y_i는 실제 관측값이고 ŷ_i는 최소제곱 회귀선 ŷ = b₀ + b₁x가 예측한 값입니다. 최소제곱법(OLS)은 잔차 제곱합(SSE = Σe_i²)을 최소화하는 회귀선을 찾습니다. 이 도구는 표준 공식으로 기울기(b₁)와 절편(b₀)을 계산합니다. b₁ = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)², b₀ = ȳ − b₁x̄ 입니다. 잔차 분석은 회귀 진단의 기본 단계입니다. 모델을 적합한 뒤에는 핵심 가정을 확인하기 위해 잔차를 살펴봐야 합니다. 선형성(잔차를 x에 대해 그렸을 때 체계적인 패턴이 없어야 함), 등분산성(잔차의 분산이 대체로 일정해야 함), 독립성(잔차에 자기상관이 없어야 함), 정규성(잔차가 대체로 정규분포를 따라야 함)입니다. 잔차 플롯, 즉 잔차를 예측값 또는 독립 변수에 대해 그린 산점도가 가장 중요한 진단 도구입니다. 잔차가 0 주변에 무작위로 퍼져 있고 패턴이 없다면 선형 모델이 적절하다는 뜻입니다. U자형 같은 체계적 패턴은 비선형성을, 깔때기 모양은 이분산성을, 군집은 영향력 있는 관측치나 이상치를 시사합니다. 결정계수 R²는 y의 분산 중 x가 얼마나 설명하는지를 나타냅니다. R²는 0(아무 분산도 설명하지 못함)부터 1(완벽한 적합)까지입니다. 계산식은 1 − SSE/SST이며, SST = Σ(yᵢ − ȳ)² 입니다. 이 계산기는 회귀를 배우는 학생, 빠른 데이터 품질 검사를 하는 분석가, 더 복잡한 모델링으로 넘어가기 전에 모델 적합도를 검증하려는 연구자에게 적합합니다. 결과에는 전체 회귀 방정식, 각 점의 잔차 표, SSE 총합, R² 값이 포함되어 바로 해석할 수 있습니다.