잔차 계산기 - 선형 회귀 잔차

잔차는 관측값과 통계 모델이 예측한 값의 차이입니다. 단순 선형 회귀에서 i번째 관측의 잔차는 e_i = y_i − ŷ_i로 정의되며, 여기서 y_i는 실제 관측값이고 ŷ_i는 최소제곱 회귀선 ŷ = b₀ + b₁x가 예측한 값입니다. 최소제곱법(OLS)은 잔차 제곱합을 최소화하는 회귀선을 찾습니다(SSE = Σe_i²). 이 도구는 표준 공식 b₁ = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)²와 b₀ = ȳ − b₁x̄를 사용해 기울기(b₁)와 절편(b₀)을 계산합니다. 잔차 분석은 회귀 진단의 기본 단계입니다. 모델을 적합한 뒤에는 잔차를 확인해 주요 가정을 검증해야 합니다. 선형성(잔차를 x에 대해 그렸을 때 체계적인 패턴이 없어야 함), 등분산성(잔차 분산이 대체로 일정해야 함), 독립성(잔차에 자기상관이 없어야 함), 정규성(잔차가 대략 정규분포를 따라야 함)입니다. 잔차 플롯——잔차를 예측값 또는 독립 변수에 대해 그린 산점도——은 가장 중요한 진단 도구입니다. 잔차가 0 주변에 무작위로 퍼져 있고 패턴이 없으면 선형 모델이 적절하다는 뜻입니다. U자형 같은 체계적 패턴은 비선형성, 부채꼴 모양은 이분산성, 군집은 영향력 있는 관측값이나 이상치를 시사합니다. 결정계수 R²는 y의 분산 중 x가 설명하는 비율을 나타냅니다. R²는 0(모델이 분산을 전혀 설명하지 못함)에서 1(완벽한 적합)까지입니다. 계산식은 1 − SSE/SST이며, SST = Σ(yᵢ − ȳ)²입니다. 이 계산기는 회귀를 배우는 학생, 빠르게 데이터 품질을 점검하려는 분석가, 더 복잡한 모델링 전에 적합도를 검증하려는 연구자에게 적합합니다. 결과에는 전체 회귀식, 각 점의 잔차 표, 총 SSE, R² 값이 포함되어 바로 해석할 수 있습니다.