Weibull 분포 계산기 - PDF, CDF 및 신뢰성

Weibull 분포는 스웨덴의 공학자이자 수학자인 Waloddi Weibull의 이름을 딴 연속 확률분포입니다. 그는 1951년에 이 분포를 재료 강도와 피로를 모델링하는 데 사용했습니다. 오늘날에는 형태 매개변수 k가 증가, 일정, 감소하는 고장률을 하나의 유연한 계열 안에서 표현할 수 있기 때문에 신뢰성 공학, 생존 분석, 풍속 모델링, 극값 이론에서 가장 중요한 분포 중 하나입니다. 이는 서로 매우 다른 세 가지 물리적 거동을 모두 설명합니다. 이 분포는 두 개의 매개변수로 정의됩니다. 형태 매개변수 k(때때로 β로 표기)는 고장률이 증가하는지, 감소하는지, 또는 일정한지를 결정합니다. k > 1이면 고장률은 시간에 따라 증가합니다. 이는 사용에 따라 열화되는 기계 부품의 마모 고장을 모델링합니다. k = 1이면 Weibull 분포는 고장률이 일정한 지수분포로 정확히 축약되며, 안정적인 배경률로 무작위 고장이 발생하는 전자 부품 등을 모델링합니다. k < 1이면 고장률은 시간에 따라 감소합니다. 이는 초기 고장, 즉 불량품이 초기에 먼저 고장나고 살아남은 제품이 더 신뢰성이 높아지는 현상을 모델링합니다. 척도 매개변수 λ(때때로 η로 표기)는 특성 수명입니다. x = λ에서 CDF는 k와 무관하게 1 − e⁻¹ ≈ 63.2%입니다. 확률밀도함수(PDF) f(x)는 정확히 시각 x에서 고장이 발생할 상대적 가능성을 나타냅니다. 누적분포함수(CDF) F(x)는 구성 요소가 시각 x까지 이미 고장났을 확률을 나타내며, 이는 비신뢰도라고도 합니다. 신뢰도 함수 R(x) = 1 − F(x)는 시각 x를 지나 생존할 확률로, 보증 및 유지보수 계획의 핵심 지표입니다. 위험률 h(x) = f(x) / R(x)는 그 시점까지 생존했다는 조건에서 시각 x의 순간 고장률이며, 공학에서는 사망력 또는 위험 함수라고 부릅니다. Weibull 분포의 평균은 λ · Γ(1 + 1/k)이며, Γ는 감마 함수입니다. 중앙값은 λ · (ln 2)^(1/k)입니다. 최빈값(가장 가능성이 높은 고장 시점)은 k > 1일 때 λ · ((k−1)/k)^(1/k), k ≤ 1일 때 0입니다. 분산은 λ² · [Γ(1 + 2/k) − (Γ(1 + 1/k))²]입니다. Weibull 분석은 차량군 유지보수 일정, 항공기 부품 인증, 풍력 자원 평가, 지진 재발주기 추정, 암 생존 연구 등에 사용됩니다. 이 계산기는 Lanczos 근사를 사용해 감마 함수를 계산하므로, 넓은 매개변수 범위에서 높은 수치 정확도를 유지하며 모든 표준 Weibull 계산을 한 번에 수행합니다.