均匀分布计算器 - PDF、CDF 和均值
计算任意连续均匀分布的概率密度函数、累积分布函数、均值、方差和区间概率。
输入最小值 a 和最大值 b。也可以输入点 x 来计算 CDF，或输入下限 x1 / 上限 x2 来计算区间概率。
均匀分布计算器 - PDF、CDF 和均值
计算任意连续均匀分布的概率密度函数、累积分布函数、均值、方差和区间概率。
可选 — 输入 x 以计算 P(X ≤ x)。
可选 — 同时输入 x1 和 x2 以计算 P(x1 ≤ X ≤ x2)。
关于均匀分布
连续均匀分布有时也称为矩形分布，描述的是在区间 [a, b] 内，每个取值出现的可能性都相同的情形。它是最简单的连续概率分布，也是所有结果在某个范围内等可能时的典型模型——例如，公交车在某个预定时间窗内到达的具体时刻，或随机时刻停止的转盘最终停在的位置。
均匀分布的概率密度函数（PDF）在整个区间内保持恒定：当 a ≤ x ≤ b 时，f(x) = 1/(b − a)，其余位置为 0。由于 PDF 下的总面积必须等于 1，而图形又是一个平坦的矩形，所以矩形的高度就是宽度的倒数。这也让 PDF 很容易理解：任何宽度相同的子区间，无论位于 [a, b] 的什么位置，概率都相同。
累积分布函数（CDF）给出随机观测值落在某个特定值 x 及其以下的概率。对于均匀分布，a ≤ x ≤ b 时，F(x) = (x − a)/(b − a)。它会随着 x 从 a 线性增加到 b 时，从 0 逐步上升到 1，反映出概率随着 x 在区间内移动而不断累积。要计算数值落在区间 [x1, x2] 内的概率，只需相减：P(x1 ≤ X ≤ x2) = (x2 − x1)/(b − a)，也就是子区间宽度除以总宽度。
均匀分布的均值（期望值）就是区间的中点：E[X] = (a + b)/2。这非常符合直觉——如果所有取值都同样可能，那么平均值就会落在正中间。方差衡量的是相对于均值的平均平方偏差，等于 (b − a)² / 12。区间越宽，方差越大，这反映了我们对结果落点的不确定性更高。
均匀分布常被用作模拟、蒙特卡罗方法和随机数生成的起点或基准。伪随机数生成器通常会先生成 [0, 1] 上的均匀随机变量，再用逆 CDF 方法将其转换为其他分布。在贝叶斯统计中，均匀先验表示在已知范围内对参数完全未知的状态。在可靠性工程和排程中，当只知道范围而不知道确切时刻时，它可用于建模未知的到达或失效时间。
理解均匀分布，也有助于建立对更复杂连续分布的认识。它的简单性使其非常适合在引入正态分布、指数分布或贝塔分布之前，先讲解 PDF、CDF、期望值和方差等概念。
均匀分布示例
使用均匀分布公式演算的常见场景。
| 参数 | 关键指标 | 应用 |
|---|---|---|
| a = 0, b = 1 | PDF = 1, Mean = 0.5, Variance = 0.0833 | 标准均匀分布 U(0,1)，是所有伪随机数生成器和逆 CDF 变换法的基础。 |
| a = 2, b = 10 | PDF = 0.125, Mean = 6, Variance ≈ 5.333 | 公交车在 2 到 10 分钟之间均匀到达。平均等待时间为 6 分钟，方差为 (10−2)²/12 = 64/12 ≈ 5.333。 |
| a = 0, b = 60, x1 = 20, x2 = 40 | P(20 ≤ X ≤ 40) = 0.333 | 一小时中的随机一分钟。落在第 20 分钟到第 40 分钟之间的概率为 (40−20)/60 = 1/3 ≈ 0.333。 |
如何使用均匀分布计算器
- 在第一个字段输入最小值 a，在第二个字段输入最大值 b。确保 b 严格大于 a。
- 点击计算即可立即查看该分布的 PDF、均值、方差和标准差。
- 可选地在 CDF 字段输入 x，以计算 P(X ≤ x)，也就是随机变量不大于 x 的概率。
- 可选地同时输入 x1 和 x2，以计算区间概率 P(x1 ≤ X ≤ x2)。
- 点击重置可清空所有字段并开始新的计算。
均匀分布常见问题
均匀分布用于什么场景？
均匀分布用于描述某个范围内每个结果出现概率相同的情形。常见应用包括随机数生成、模拟研究、贝叶斯中的非信息先验，以及只知道可能范围时的排程或到达时间建模。
如何计算区间概率？
对于区间 [a, b] 上的均匀分布，值落在 [x1, x2] 内的概率就是 (x2 − x1) / (b − a)。它与子区间宽度相对于总范围的比例成正比，这正体现了平坦的 PDF。
均匀分布中的 PDF 和 CDF 有什么区别？
PDF 表示单点处的密度，在 [a, b] 内任何一点都等于 1/(b−a)。CDF 表示到某个点 x 为止的累积概率，等于 (x−a)/(b−a)。对于连续分布，概率只对区间有意义，而不是对单个点有意义。
为什么方差是 (b−a)²/12？
方差是通过在 [a, b] 上对 (x − 均值)² × f(x) 积分得到的，其中 f(x) = 1/(b−a)。化简后结果就是 (b−a)²/12。区间越宽，值离均值越分散，因此方差会按宽度平方成比例增大。
均匀分布是否就等同于等可能结果？
对于连续随机变量来说，是的。均匀分布是公平骰子或随机抽取的连续对应版本——任何等长子区间的概率都相同。不过在连续情况下，单个点的概率为 0，只有区间概率才非零。
标准均匀分布 U(0,1) 与其他分布有什么关系？
标准均匀分布 U(0,1) 是生成任意连续分布的基础。如果 U 服从 [0,1] 上的均匀分布，而 F 是目标分布的 CDF，那么 F⁻¹(U) 就服从该目标分布。这个逆变换法是大多数随机抽样算法的核心。