Binome multiplizieren Rechner - FOIL-Methode

Ein Binom ist ein Polynom, das genau zwei Terme enthält, die durch Addition oder Subtraktion verbunden sind. Beispiele sind (x + 3), (2y − 7) und (5a + 1). Beim Multiplizieren zweier Binome entsteht zunächst ein viergliedriger Zwischenausdruck, der nach dem Zusammenfassen gleichartiger Terme zu einem Trinom vereinfacht wird. Diese Operation gehört zu den grundlegendsten Fertigkeiten der Algebra und bildet die Basis für Faktorisieren, quadratische Gleichungen und Polynomrechnung in der gesamten Mathematik. Die FOIL-Methode ist die übliche Eselsbrücke zum Multiplizieren zweier Binome. FOIL steht für First, Outer, Inner, Last: die vier Termpaare, die beim Entwickeln von (ax + b)(cx + d) miteinander multipliziert werden müssen. Im First-Schritt werden die führenden Terme multipliziert: ax × cx = acx². Im Outer-Schritt wird der erste Term des ersten Binoms mit dem letzten Term des zweiten multipliziert: ax × d = adx. Im Inner-Schritt wird der zweite Term des ersten Binoms mit dem ersten Term des zweiten multipliziert: b × cx = bcx. Im Last-Schritt werden die beiden hinteren Konstanten multipliziert: b × d = bd. Nachdem alle vier Produkte gesammelt wurden, enthalten die Outer- und Inner-Terme beide x und lassen sich zu (ad + bc)x zusammenfassen; so entsteht das Standardtrinom acx² + (ad + bc)x + bd. FOIL ist im Grunde nur das Distributivgesetz, zweimal angewendet. Die Schreibweise ax(cx + d) + b(cx + d) macht die Logik deutlich: Jeder Term des ersten Binoms wird über das gesamte zweite Binom verteilt. Diese Sichtweise ist wichtig, weil sie erklärt, wie man längere Polynome multipliziert: Ein Trinom mal ein Binom erfordert, dass alle drei Terme des Trinoms über das Binom verteilt werden, wodurch sechs Zwischenprodukte statt vier entstehen. Mehrere besondere Produkte folgen vorhersehbaren Mustern, die man erkennen sollte. Die Differenz von Quadraten, (a + b)(a − b), fällt immer zu a² − b² zusammen, weil sich der äußere und innere Term aufheben. Ein vollständiges Quadrat, (a + b)², entwickelt sich zu a² + 2ab + b², wobei der mittlere Term das Doppelte des Produkts der beiden Konstanten ist. Diese Abkürzungen beschleunigen Kopfrechnen und erleichtern das Faktorisieren erheblich, denn Faktorisieren ist einfach die Umkehrung des Entwickelns. Praktische Anwendungen der Binommultiplikation gibt es in vielen Bereichen. In der Geometrie wird die Fläche eines Rechtecks durch Multiplikation bestimmt, wenn Länge und Breite beide als Binome ausgedrückt sind. In Physik und Ingenieurwesen erfordern kinematische Gleichungen für Verschiebung und quadratische Modelle von Projektilbahnen häufig das Entwickeln binomischer Ausdrücke. In der Finanzmathematik nutzen Näherungen des Zinseszinses bei kleinen Zinssätzen die binomische Entwicklung. Wer diese Rechnung beherrscht, baut die algebraische Sicherheit auf, die für quadratische Ergänzung, die Mitternachtsformel und später für die Polynomrechnung in der Analysis nötig ist.