Binomialkoeffizient-Rechner

Der Binomialkoeffizient C(n, k), auch „n über k“ oder ⁿCₖ geschrieben, ist die Anzahl der Möglichkeiten, genau k Elemente aus einer Menge von n verschiedenen Elementen auszuwählen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. Er gehört zu den grundlegenden Größen der Kombinatorik und erscheint in Wahrscheinlichkeitstheorie, Algebra, Statistik und Informatik. Die Formel lautet C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!). Das Ausrufezeichen bezeichnet die Fakultät: n! = n × (n−1) × (n−2) × ⋯ × 2 × 1; per Konvention gilt 0! = 1. Beispiel: C(5, 2) = 5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10, also gibt es 10 Möglichkeiten, 2 Elemente aus 5 zu wählen. Binomialkoeffizienten sind die Einträge des Pascalschen Dreiecks. Jeder Eintrag ist die Summe der beiden direkt darüberliegenden Einträge. In Zeile n und Spalte k, jeweils ab null gezählt, steht C(n, k). Dies folgt aus der Pascalschen Identität C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k): Ein Element wird entweder aufgenommen oder ausgeschlossen. Der Name stammt vom binomischen Lehrsatz: (x + y)ⁿ = Σ C(n, k) × xᵏ × y^(n−k) für k von 0 bis n. Der Koeffizient jedes Terms xᵏ y^(n−k) ist C(n, k). So hat (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ die Koeffizienten 1, 3, 3, 1, also C(3,0) bis C(3,3). In der Wahrscheinlichkeit treten Binomialkoeffizienten in der Binomialverteilung auf. Sie modelliert die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge ist C(n, k) × p^k × (1−p)^(n−k). Pokerhände, Lottoscheine, Ausschüsse oder Binärstrings mit fester Anzahl von Einsen lassen sich direkt so zählen. Für große n und k kann die direkte Fakultätsberechnung zu Integer-Überläufen führen. Effiziente Algorithmen nutzen iterativ die multiplikative Formel C(n, k) = ∏ (n − i) / (i + 1) für i von 0 bis k−1, wodurch Zwischenwerte kleiner bleiben. Dieser Rechner verwendet exakte Ganzzahlarithmetik für präzise Ergebnisse bei praktischen Eingaben.