Rechner für Summen- und Differenzidentitäten

Summen- und Differenzidentitäten, auch als Formeln zur Addition und Subtraktion von Winkeln bekannt, sind trigonometrische Gleichungen, die die trigonometrische Funktion einer Summe oder Differenz zweier Winkel durch die trigonometrischen Funktionen der einzelnen Winkel ausdrücken. Sie ermöglichen es, sin, cos oder tan von Winkeln wie 75° oder 15° exakt und ohne Taschenrechner zu bestimmen, indem man sie in Winkel zerlegt, deren trigonometrische Werte bereits bekannt sind (etwa 30°, 45° und 60°). Die sechs Kernformeln lauten: sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B); sin(A − B) = sin(A)cos(B) − cos(A)sin(B); cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B); cos(A − B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B); tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 − tan(A)tan(B)); und tan(A − B) = (tan(A) − tan(B)) / (1 + tan(A)tan(B)). Diese Identitäten sind exakt — sie enthalten keine Näherung — und können mithilfe des Einheitskreises oder geometrischer Argumente bewiesen werden. Der Rechner akzeptiert Winkel sowohl in Grad als auch in Radiant. Bei Grad gib Werte wie 30, 45 oder 90 ein. Bei Radiant gib Dezimalnäherungen ein (z. B. 0.5236 für π/6) oder exakte Dezimalwerte. Die Wahl der Einheit ist wichtig, weil trigonometrische Funktionen für dieselbe Zahl unterschiedliche Werte berechnen, je nachdem, ob sie Grad oder Radiant darstellt. In der Physik sind diese Identitäten unverzichtbar für die Analyse der Überlagerung von Wellen. Wenn zwei Wellen gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher Phase zusammenkommen, wird die Amplitude der resultierenden Welle direkt durch Summen- und Differenzformeln bestimmt. In der Elektrotechnik werden Phasenbeziehungen zwischen Spannung und Strom in Wechselstromkreisen von derselben Mathematik beschrieben. In der Computergrafik werden sie genutzt, um Punkte und Vektoren im 2D- und 3D-Raum zu drehen — eine Rotationsmatrix besteht vollständig aus Kosinus und Sinus des Rotationswinkels. In der Mathematik sind Summen- und Differenzidentitäten ein Ausgangspunkt für viele weitere trigonometrische Beziehungen: Doppelwinkelformeln, Halbwinkelformeln und Produkt-zu-Summe-Formeln folgen direkt aus diesen sechs Identitäten. Ihre Beherrschung schafft eine Grundlage für Analysis, Fourier-Analyse, Signalverarbeitung und jedes Gebiet, das auf periodischen Funktionen beruht.