Poisson-Verteilung Rechner

Die Poisson-Verteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in Statistik und angewandter Mathematik. Benannt nach dem französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson, beschreibt sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einem festen Zeit- oder Raumintervall eine bestimmte Anzahl von Ereignissen auftritt, wenn diese Ereignisse unabhängig voneinander und mit einer bekannten konstanten durchschnittlichen Rate eintreten. Die Verteilung wird vollständig durch einen einzigen Parameter, λ (lambda), beschrieben. Dieser steht für die mittlere Anzahl von Ereignissen im gegebenen Intervall. Wenn ein Callcenter beispielsweise durchschnittlich 10 Anrufe pro Stunde erhält, gilt λ = 10. Die Wahrscheinlichkeit, in einer Stunde genau x Anrufe zu erhalten, folgt der Poisson-Verteilung mit diesem Lambda. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion (PMF) der Poisson-Verteilung lautet: P(X = x) = (e^−λ × λ^x) / x!, wobei e ≈ 2.71828 die Eulersche Zahl ist und x! die Fakultät von x. Diese elegante Formel ermöglicht es, exakte Wahrscheinlichkeiten für jede nichtnegative ganze Zahl x zu berechnen. Eine bemerkenswerte Eigenschaft der Poisson-Verteilung ist, dass Mittelwert und Varianz beide gleich λ sind. Das bedeutet, dass die Standardabweichung √λ beträgt. Mit zunehmendem λ wird die Verteilung symmetrischer und nähert sich einer Normalverteilung an, was für großskalige Anwendungen nützlich ist. Dieser Rechner berechnet fünf zentrale Wahrscheinlichkeitswerte: P(X = x) für die exakte Anzahl, P(X < x) für strikt weniger Ereignisse, P(X ≤ x) für höchstens x Ereignisse, P(X > x) für strikt mehr Ereignisse und P(X ≥ x) für mindestens x Ereignisse. Diese kumulativen Formen werden durch Summieren der PMF über den jeweiligen Bereich abgeleitet. Die Poisson-Verteilung wird in Wissenschaft, Technik, Finanzwesen und Medizin breit eingesetzt. Versicherungen verwenden sie, um die Häufigkeit von Schadensfällen zu modellieren. Telekommunikationsingenieure wenden sie an, um Ankunftsraten von Anrufen und Netzwerkpaketflüsse zu analysieren. Qualitätskontrollteams nutzen sie, um die Anzahl von Fehlern pro Flächeneinheit zu modellieren. Epidemiologen setzen sie ein, um Krankheitsauftretensraten in Populationen zu modellieren. Die Verteilung entsteht außerdem als Grenzfall der Binomialverteilung, wenn die Anzahl der Versuche n sehr groß und die Erfolgswahrscheinlichkeit p sehr klein ist, wobei np = λ gilt. Dieser Zusammenhang macht das Poisson-Modell nützlich für die Modellierung seltener Ereignisse. Achten Sie bei der Verwendung dieses Rechners darauf, dass die modellierten Ereignisse tatsächlich unabhängig sind und mit einer konstanten durchschnittlichen Rate auftreten. Wenn sich die Rate innerhalb Ihres Intervalls ändert — zum Beispiel, weil Web-Traffic während der Geschäftszeiten höher ist — ist ein Standard-Poisson-Modell möglicherweise nicht geeignet, und Sie benötigen eventuell einen inhomogenen Poisson-Prozess oder eine andere Verteilung.