ガウス・ジョルダン消去計算機 - 連立方程式を解く
拡大係数行列を既約行階段形に変換して連立一次方程式を解きます。
連立方程式の係数を入力し、行列のサイズを設定して、［解く］をクリックすると完全な解が得られます。
ガウス・ジョルダン消去計算機 - 連立方程式を解く
拡大係数行列を既約行階段形に変換して連立一次方程式を解きます。
各方程式の係数を入力してください。最後の列は定数項（b）です。
| x1 | x2 | | | b |
|---|---|---|---|
| | | |||
| | |
ガウス・ジョルダン消去法について
ガウス・ジョルダン消去法は、拡大係数行列に基本行操作を施して既約行階段形（RREF）に到達するまで、連立一次方程式を系統的に解くアルゴリズムです。カール・フリードリヒ・ガウスとヴィルヘルム・ヨルダンにちなんで名付けられ、ガウス消去法をさらに進めて、各ピボットを 1 にし、ピボット列の他の要素をすべて 0 にするまで処理を続けます。そのため、後退代入を使わずに解を直接読み取れます。
まず拡大係数行列 [A | b] を作成します。A には変数の係数が入り、b には各方程式の右辺の定数が入ります。次に、3 種類の行操作を適用します。2 行の入れ替え、0 でないスカラーによる行の倍加、ある行の倍数を別の行に加える操作です。これらの操作は方程式系の解集合を変えないため、最終的な RREF 行列は同値な方程式系を表します。
n 個の方程式と n 個の未知数からなる系は、ちょうど 1 つの解を持つこともあれば（係数行列がフルランクの場合）、解を持たないこともあり（左辺がすべて 0 で右辺が 0 でない行が現れる不整合な場合）、無数の解を持つこともあります（従属な系で、変数の数よりピボット列が少ない場合）。ガウス・ジョルダン消去法はこの 3 つを明確に判定します。
この方法は、任意の線形方程式系を解くための明快で手順的な流れを示すため、線形代数の授業で広く教えられています。実際の数値計算では、安定性を高めて丸め誤差を減らすために部分ピボット選択を使うのが一般的です。ガウス・ジョルダン消去法は、行列の逆行列計算、最小二乗問題の解法、零空間の計算の基礎にもなります。
この計算機は、2x2、3x3、4x4 の系に対して部分ピボット選択付きのガウス・ジョルダン消去法を実装しています。完全な RREF 行列とともに解の値も表示するので、結果だけでなく方程式系の代数構造も把握できます。
例
代表的な連立方程式とその解：
| 方程式系 | 解 | 備考 |
|---|---|---|
| 2x + y = 5, 4x + 3y = 11 | x1 = 2, x2 = 1 | 一意な 2x2 の解 |
| 2x + y + z = 8, x + 3y - z = 10, x + y + 2z = 7 | x1 = 2, x2 = 3, x3 = 1 | 3x3 の一意解 |
| x + y = 3, 2x + 2y = 6 | 無数の解 | 従属な系 |
| x + y = 3, x + y = 5 | 解なし | 不整合な系 |
使い方
- サイズボタンで方程式数（行）と変数の数（列）を選択します。
- 対応する行列セルに各変数の係数を入力します。最後の列には定数項が入ります。
- ［解く］をクリックして、部分ピボット選択付きのガウス・ジョルダン消去を実行します。
- 結果は［解］パネルから読み取れます。各変数に一意の値が表示されていれば、それが答えです。
- 下の RREF 行列を確認して、代数構造を理解したり計算を検証したりできます。
よくある質問
ガウス・ジョルダン消去法とは何ですか？
ガウス・ジョルダン消去法は、拡大係数行列を既約行階段形（RREF）まで徹底的に簡約するガウス消去法の拡張です。後退代入が必要なガウス消去法と異なり、解をそのまま読み取れる行列を作ります。
既約行階段形（RREF）とは何ですか？
各主成分（ピボット）が 1 で、ピボット列の他の要素がすべて 0、さらにピボットが上から下へ右に進む形になっている行列が RREF です。RREF は任意の行列に対して一意であり、連立方程式の解を直接表します。
解なしとはどういう意味ですか？
消去の途中で [0 0 ... 0 | k] の形で k が 0 でない行が現れると、系は不整合です。これは方程式同士が矛盾しており、すべてを同時に満たす点が存在しないことを意味します。
無数の解とはどういう意味ですか？
RREF のピボット数が変数の数より少なく、自由変数が残ると無数の解が生じます。各自由変数は任意の実数を取れるため、解は無限個の族になります。解集合は直線、平面、またはそれ以上の次元の部分空間になります。
部分ピボット選択とは何ですか？なぜ使うのですか？
部分ピボット選択では、現在の列で絶対値が最大の要素がピボットになるように行を入れ替えます。これにより、非常に小さい数で割ることによる数値誤差を減らし、浮動小数点演算での安定性を高められます。
この方法で行列の逆行列を求められますか？
はい。n×n 行列 A を逆行列化するには、n×n 単位行列と結合して [A | I] を作り、ガウス・ジョルダン消去法を適用します。A が可逆なら、結果は [I | A-inverse] となり、逆行列を直接得られます。この計算機は拡大方程式系に焦点を当てていますが、同じ行操作が使えます。