懸垂線計算機 - 吊り下げチェーンとケーブルのたるみ

懸垂線は、柔軟で均一なチェーンやケーブルが、自重で 2 つの固定端点の間に自由に吊られたときに自然にできる曲線です。語源はラテン語の catena（鎖）です。見た目は放物線に似ていますが、懸垂線は双曲線余弦関数に従う、まったく異なる数学的形状です。 最下点を原点に置いた懸垂線の式は y = a·cosh(x/a) − a で、ここでパラメータ a = T₀/w です。T₀ は張力の水平方向成分（ケーブル全体で一定）、w はケーブルの単位長さあたりの重量です。a が大きいほど、ケーブルは軽いか張力が大きいことを意味し、たるみ曲線はより平坦になります。 任意の点での傾きは dy/dx = sinh(x/a) です。最下点（x = 0）から水平位置 x までの弧長は s = a·sinh(x/a) です。ケーブル上の任意の点での張力は T = w·a·cosh(x/a) となり、張力は端点で最大、最下点で最小になります。 懸垂線の解析は、吊り橋、架空送電線、ケーブル支持屋根構造などの土木工学で不可欠です。たとえばゴールデンゲートブリッジの主ケーブルは、自重だけならほぼ懸垂線形ですが、路面デッキの荷重が加わることで放物線に近づきます。架空電線も塔と塔の間で懸垂線状にたるみ、技術者は最低地上高を確保するためにこのたるみを計算します。 建築では、逆懸垂線（懸垂アーチ）は自重だけで自立する理想的なアーチ形状で、各部分が曲げ応力なしの純圧縮だけを受けます。セントルイスのゲートウェイ・アーチは平たくした懸垂アーチであり、サグラダ・ファミリアのヴォールト設計にも吊り鎖モデルが用いられました。 双曲線関数 cosh と sinh は懸垂線解析に自然に現れ、すべての科学計算機やプログラミング言語で利用できます。この計算機はそれらを直接使うため、手計算で積分しなくても、任意の a と x の組み合わせでたるみ、高さ、傾き、弧長、張力を求められます。