一様分布計算機 - PDF、CDF、平均

連続一様分布は、長方形分布と呼ばれることもあり、区間 [a, b] のどの値も同じ確率で起こる状況を表します。これは最も基本的な連続確率分布であり、範囲内のどの結果も同程度に起こりうる現象を表す標準的なモデルです。たとえば、バスが予定時刻のどこで到着するか、またはランダムな時点で止めたルーレットの停止位置などが該当します。 一様分布の確率密度関数（PDF）は区間全体で一定です。つまり a ≤ x ≤ b のとき f(x) = 1/(b − a)、それ以外は 0 です。PDF の下の面積は必ず 1 でなければならず、形が平らな長方形なので、高さは幅の逆数になります。そのため、同じ幅の部分区間なら [a, b] のどこにあっても同じ確率になります。 累積分布関数（CDF）は、ある値 x 以下に観測値が入る確率を表します。一様分布では a ≤ x ≤ b のとき F(x) = (x − a)/(b − a) です。x = a で 0 から始まり、x = b で 1 まで直線的に増加し、x が区間内を進むにつれて確率が着実に蓄積されることを示します。区間 [x1, x2] に入る確率は、P(x1 ≤ X ≤ x2) = (x2 − x1)/(b − a) として求められます。これは部分区間の幅を全体の幅で割ったものです。 一様分布の平均（期待値）は区間の中点です。E[X] = (a + b)/2 となります。すべての値が同じ確率なら、平均がちょうど真ん中に来るのは直感的にも自然です。分散は平均からの二乗偏差の平均で、(b − a)² / 12 に等しくなります。区間が広いほど分散は大きくなり、結果がどこに出るかの不確実性も増します。 一様分布は、シミュレーション、モンテカルロ法、乱数生成の出発点や基準として広く使われます。疑似乱数生成器は通常、[0, 1] 上の一様乱数を生成し、逆 CDF 法で他の分布へ変換します。ベイズ統計では、一様事前分布は、ある範囲内のパラメータについて完全に無知である状態を表します。信頼性工学やスケジューリングでは、範囲だけが分かっていて正確な時刻が分からない到着時刻や故障時刻を表すのに使われます。 一様分布を理解すると、より複雑な連続分布の理解にも役立ちます。その単純さは、正規分布、指数分布、ベータ分布を学ぶ前に、PDF、CDF、期待値、分散の概念を身につけるのに最適です。