Weibull分布計算ツール - PDF、CDF、信頼性

Weibull 分布は、スウェーデンの技術者・数学者 Waloddi Weibull にちなんで名付けられた連続確率分布です。彼は 1951 年にこの分布を材料強度と疲労のモデル化に用いました。現在では、形状パラメータ k により、増加・一定・減少のいずれの故障率も 1 つの柔軟な族で表現できるため、信頼性工学、生存解析、風速モデリング、極値理論において最も重要な分布の 1 つです。 この分布は 2 つのパラメータで定義されます。形状パラメータ k（β と書かれることもあります）は、故障率が増加するか、減少するか、一定かを決めます。k > 1 のとき、故障率は時間とともに増加します。これは、使用とともに劣化する機械部品に典型的な摩耗故障を表します。k = 1 のとき、Weibull 分布は故障率一定の指数分布にちょうど一致し、安定した背景率でランダムに故障する電子部品などをモデル化します。k < 1 のとき、故障率は時間とともに減少します。これは初期故障を表し、不良品は早期に故障し、生き残ったものほど信頼性が高くなります。尺度パラメータ λ（η と書かれることもあります）は特性寿命であり、x = λ では k に関係なく CDF は 1 − e⁻¹ ≈ 63.2% になります。 確率密度関数（PDF）f(x) は、ちょうど時刻 x で故障が起こる相対的な起こりやすさを示します。累積分布関数（CDF）F(x) は、部品が時刻 x までに故障している確率を示し、不信頼度とも呼ばれます。信頼度関数 R(x) = 1 − F(x) は時刻 x を超えて生存する確率で、保証や保守計画の主要指標です。危険率 h(x) = f(x) / R(x) は、その時点まで生存している条件下での時刻 x における瞬間故障率で、工学ではフォース・オブ・モータリティやハザード関数とも呼ばれます。 Weibull 分布の平均は λ · Γ(1 + 1/k) で、Γ はガンマ関数です。中央値は λ · (ln 2)^(1/k) です。最頻値（最も起こりやすい故障時刻）は、k > 1 のとき λ · ((k−1)/k)^(1/k)、k ≤ 1 のとき 0 です。分散は λ² · [Γ(1 + 2/k) − (Γ(1 + 1/k))²] です。 Weibull 解析は、車両群の保守計画、航空機部品の認証、風力資源評価、地震再来間隔の推定、がん生存研究などで用いられます。この計算ツールは Lanczos 近似によるガンマ関数計算を使い、広いパラメータ範囲で高い数値精度を保ちながら、標準的な Weibull 計算を一度に実行します。