조화수 계산기

n번째 조화수는 유한합 H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n 입니다. 보기에는 단순하지만 수론, 해석학, 알고리즘 설계, 조합론, 확률론 등 매우 넓은 분야에 등장합니다. 이 계산기는 급수를 직접 계산하여 선택한 양의 정수 n에 대한 정확한 부분합을 보여줍니다. 또한 점근 근사를 표시할 수 있고, 작은 값에서는 합을 이루는 항들을 읽기 쉽게 풀어서 보여줍니다. 조화수는 매우 천천히 증가합니다. n이 커질수록 무한히 커지지만, 증가 방식은 선형이 아니라 로그형입니다. 즉 H_10은 2.9를 조금 넘는 정도이고, H_100은 약 5.19, H_1,000,000도 약 14.39에 불과합니다. 이런 느린 증가 때문에 조화수는 복잡도 분석에서 자주 등장합니다. 특히 반복적인 나눗셈, 힙 동작, 쿠폰 수집형 기대값을 다루는 알고리즘의 식에는 H_n이나 그와 매우 비슷한 표현이 들어가는 경우가 많습니다. 대표적인 근사는 H_n ≈ ln(n) + γ + 1/(2n)이며, γ는 오일러-마스케로니 상수입니다. 이 추정은 n이 커질수록 더 정확해지고, 모든 항을 직접 더하지 않고도 감을 잡고 싶을 때 자주 사용됩니다. 계산기는 필요할 때 이 근사도 보여 주므로, 정확한 부분합과 로그 모델을 비교할 수 있습니다. 중간 크기 이상의 n에서는 보통 상당히 정확합니다. 합 전개 옵션은 학습, 과제 확인, 급수 구조 파악에 유용합니다. 가독성을 위해 계산기는 처음 20개 항만 명시하고, n이 더 크면 생략 부호를 붙입니다. 이렇게 하면 출력은 실용적이면서도 급수의 구조를 분명하게 보여 줍니다. 이 맥락에서 조화수는 양의 정수에 대해서만 정의되므로 0, 음수, 비정수는 허용하지 않습니다. 또한 브라우저에서의 계산이 매끄럽게 유지되도록 n에 상한을 둡니다. 매우 큰 n의 거동을 추정해야 한다면 근사값이 더 실용적인 경우가 많습니다. 점근 분석, 기대값, 고전적 급수를 공부하든, 조화수는 작지만 수학적으로 큰 의미를 지닌 대상입니다.