Калькулятор равномерного распределения - PDF, CDF и среднее
Вычисляйте функцию плотности вероятности, функцию распределения, среднее, дисперсию и вероятность интервала для любого непрерывного равномерного распределения.
Введите минимальное значение a и максимальное значение b. При желании можно также ввести точку x для CDF или нижнюю и верхнюю границы x1/x2 для вероятности интервала.
Калькулятор равномерного распределения - PDF, CDF и среднее
Вычисляйте функцию плотности вероятности, функцию распределения, среднее, дисперсию и вероятность интервала для любого непрерывного равномерного распределения.
Необязательно — введите x, чтобы вычислить P(X ≤ x).
Необязательно — введите x1 и x2, чтобы вычислить P(x1 ≤ X ≤ x2).
О равномерном распределении
Непрерывное равномерное распределение, иногда называемое прямоугольным распределением, описывает ситуацию, в которой любое значение на заданном интервале [a, b] с одинаковой вероятностью может встретиться. Это самое простое непрерывное распределение вероятностей, служащее канонической моделью для явлений, где все исходы в пределах диапазона равно вероятны — например, точный момент прибытия автобуса в пределах расписанного окна или положение шара, остановленного в случайный момент.
Функция плотности вероятности (PDF) равномерного распределения постоянна на всём интервале: f(x) = 1/(b − a) для a ≤ x ≤ b и равна нулю вне его. Поскольку полная площадь под PDF должна быть равна единице, а форма представляет собой плоский прямоугольник, высота прямоугольника просто равна обратной величине ширины. Поэтому PDF легко интерпретировать: любой подинтервал той же ширины имеет ту же вероятность, независимо от того, где он расположен внутри [a, b].
Функция распределения (CDF) показывает вероятность того, что случайное наблюдение окажется меньше или равно заданному значению x. Для равномерного распределения F(x) = (x − a)/(b − a) для a ≤ x ≤ b. Она линейно возрастает от нуля при x = a до единицы при x = b, отражая постепенное накопление вероятности при движении x по интервалу. Чтобы найти вероятность попадания значения в интервал [x1, x2], достаточно вычесть: P(x1 ≤ X ≤ x2) = (x2 − x1)/(b − a), то есть ширину подинтервала, делённую на общую ширину.
Среднее (математическое ожидание) равномерного распределения — это середина интервала: E[X] = (a + b)/2. Это интуитивно понятно: если все значения одинаково вероятны, среднее находится ровно посередине. Дисперсия измеряет среднее квадратичное отклонение от среднего и равна (b − a)² / 12. Более широкий интервал даёт большую дисперсию, что отражает большую неопределённость относительно того, где окажется результат.
Равномерное распределение широко используется как отправная точка или эталон в моделировании, методах Монте-Карло и генерации случайных чисел. Псевдослучайные генераторы обычно создают равномерные случайные величины на [0, 1], которые затем можно преобразовать в другие распределения методом обратной CDF. В байесовской статистике равномерный априор выражает состояние полного незнания о параметре в пределах известного диапазона. В инженерии надёжности и планировании оно моделирует неизвестные времена прибытия или отказа, когда известен только диапазон.
Понимание равномерного распределения также даёт основу для освоения более сложных непрерывных распределений. Его простота делает его идеальным для изучения понятий PDF, CDF, математического ожидания и дисперсии перед переходом к нормальному, экспоненциальному или бета-распределению.
Примеры равномерного распределения
Примеры вычислений по формулам равномерного распределения для типичных сценариев.
| Параметры | Ключевые метрики | Применение |
|---|---|---|
| a = 0, b = 1 | PDF = 1, Mean = 0.5, Variance = 0.0833 | Стандартное равномерное распределение U(0,1), основа всех псевдослучайных генераторов и метода обратного преобразования CDF. |
| a = 2, b = 10 | PDF = 0.125, Mean = 6, Variance ≈ 5.333 | Автобус прибывает равномерно между 2 и 10 минутами. Среднее время ожидания — 6 минут, а дисперсия равна (10−2)²/12 = 64/12 ≈ 5.333. |
| a = 0, b = 60, x1 = 20, x2 = 40 | P(20 ≤ X ≤ 40) = 0.333 | Случайная минута в течение часа. Вероятность попасть между 20-й и 40-й минутой равна (40−20)/60 = 1/3 ≈ 0.333. |
Как пользоваться калькулятором равномерного распределения
- Введите минимальное значение a в первое поле и максимальное значение b во второе. Убедитесь, что b строго больше a.
- Нажмите «Вычислить», чтобы сразу увидеть PDF, среднее, дисперсию и стандартное отклонение вашего распределения.
- При желании введите значение x в поле CDF, чтобы вычислить P(X ≤ x), то есть вероятность того, что случайная величина не превысит x.
- При желании введите x1 и x2, чтобы вычислить вероятность интервала P(x1 ≤ X ≤ x2).
- Нажмите «Сбросить», чтобы очистить все поля и начать новый расчёт.
FAQ по равномерному распределению
Для чего используется равномерное распределение?
Равномерное распределение моделирует ситуации, в которых каждый результат в пределах диапазона одинаково вероятен. Типичные применения включают генерацию случайных чисел, имитационное моделирование, неинформативные априорные распределения в байесовской статистике и модели расписаний или времени прибытия, когда известен только диапазон возможных значений.
Как вычислить вероятность интервала?
Для равномерного распределения на [a, b] вероятность того, что значение попадёт в [x1, x2], равна (x2 − x1) / (b − a). Она пропорциональна ширине подинтервала относительно всего диапазона, что отражает плоскую PDF.
В чём разница между PDF и CDF для равномерного распределения?
PDF показывает плотность в одной точке и равна 1/(b−a) для любой точки в [a, b]. CDF показывает накопленную вероятность до точки x и равна (x−a)/(b−a). Для непрерывных распределений вероятность имеет смысл только на интервалах, а не в отдельных точках.
Почему дисперсия равна (b−a)²/12?
Дисперсия выводится интегрированием (x − среднее)² × f(x) на [a, b], где f(x) = 1/(b−a). Вычисление упрощается до (b−a)²/12. Более широкий интервал увеличивает дисперсию пропорционально квадрату ширины, так как значения сильнее расходятся от среднего.
То же ли это, что и равновероятные исходы?
Для непрерывных случайных величин — да. Равномерное распределение является непрерывным аналогом честной кости или случайной выборки: любой подинтервал одинаковой длины имеет ту же вероятность. Однако в непрерывном случае вероятность отдельной точки равна нулю; ненулевыми остаются только вероятности интервалов.
Как стандартное равномерное распределение U(0,1) связано с другими распределениями?
Стандартное равномерное распределение U(0,1) — это строительный блок для генерации любого непрерывного распределения. Если U равномерно распределена на [0,1], а F — CDF целевого распределения, то F⁻¹(U) следует этому целевому распределению. Этот метод обратного преобразования лежит в основе большинства алгоритмов случайной выборки.