Калькулятор распределения Вейбулла - PDF, CDF и надежность
Вычисляйте PDF, CDF, функцию надежности, интенсивность отказов, среднее, медиану, моду и дисперсию распределения Вейбулла по любым параметрам формы и масштаба.
Введите параметр формы k, параметр масштаба λ и значение x, чтобы получить полный анализ распределения Вейбулла, включая вероятность отказа и надежность.
Калькулятор распределения Вейбулла - PDF, CDF и надежность
Вычисляйте PDF, CDF, функцию надежности, интенсивность отказов, среднее, медиану, моду и дисперсию распределения Вейбулла по любым параметрам формы и масштаба.
О калькуляторе распределения Вейбулла
Распределение Вейбулла — это непрерывное вероятностное распределение, названное в честь шведского инженера и математика Валодди Вейбулла, который в 1951 году использовал его для моделирования прочности материалов и усталости. Сегодня это одно из важнейших распределений в теории надежности, анализе выживаемости, моделировании скорости ветра и теории экстремальных значений, потому что его параметр формы k позволяет описывать возрастающие, постоянные или убывающие интенсивности отказов — три очень разных физических режима — в рамках одного гибкого семейства.
Распределение задается двумя параметрами. Параметр формы k (иногда обозначается β) определяет, возрастает, убывает или остается постоянной интенсивность отказов. При k > 1 интенсивность отказов растет со временем — это моделирует отказы из-за износа, типичные для механических компонентов, когда детали деградируют при эксплуатации. При k = 1 распределение Вейбулла точно сводится к экспоненциальному распределению с постоянной интенсивностью отказов, моделируя чисто случайные отказы, например электронных компонентов со стабильным фоновым уровнем отказов. При k < 1 интенсивность отказов снижается со временем — это моделирует отказы раннего возраста, когда дефектные изделия ломаются рано, а выжившие становятся надежнее. Параметр масштаба λ (иногда обозначается η) — это характерная наработка: при x = λ CDF равна 1 − e⁻¹ ≈ 63,2% независимо от k.
Функция плотности вероятности (PDF) f(x) показывает относительную вероятность отказа ровно в момент x. Кумулятивная функция распределения (CDF) F(x) показывает вероятность того, что компонент уже отказал к моменту x — это также называют ненадежностью. Функция надежности R(x) = 1 − F(x) показывает вероятность выживания после момента x и является основным показателем для планирования гарантий и обслуживания. Интенсивность отказов h(x) = f(x) / R(x) — это мгновенная интенсивность отказов в момент x при условии выживания до этого момента; в инженерии ее называют функцией риска.
Среднее распределения Вейбулла равно λ · Γ(1 + 1/k), где Γ — гамма-функция. Медиана равна λ · (ln 2)^(1/k). Мода (наиболее вероятное время отказа) равна λ · ((k−1)/k)^(1/k) при k > 1 и 0 при k ≤ 1. Дисперсия равна λ² · [Γ(1 + 2/k) − (Γ(1 + 1/k))²].
Анализ Вейбулла используется в планировании обслуживания автопарков, сертификации авиационных компонентов, оценке ветроэнергетических ресурсов, оценке периода повторяемости землетрясений и исследованиях выживаемости при онкологии. Этот калькулятор выполняет все стандартные вычисления Вейбулла за один шаг, используя аппроксимацию Ланцоша для гамма-функции, чтобы сохранять высокую численную точность в широком диапазоне параметров.
Примеры распределения Вейбулла
Три отраслевых сценария показывают, как распределение Вейбулла моделирует отказ и надежность.
| Параметры | CDF F(x) | Детали |
|---|---|---|
| k=2.1, λ=8500, x=7000 | F(7000) ≈ 0.485 | Около 48,5% подшипников выйдут из строя до 7000 часов. При k > 1 интенсивность отказов растет с возрастом (режим износа). |
| k=1.8, λ=12 mph, x=15 mph | F(15) ≈ 0.776 | Вероятность того, что среднесуточная скорость ветра будет не выше 15 mph, составляет около 77,6%. Во многих регионах скорости ветра подчиняются распределению Вейбулла с k ≈ 1,5–2,5. |
| k=1, λ=500, x=500 | F(500) ≈ 0.632 | При k=1 распределение Вейбулла сводится к экспоненциальному. При x=λ, независимо от k, F(x) = 1 − e⁻¹ ≈ 63,2% — это определяющее свойство λ. |
Как пользоваться калькулятором распределения Вейбулла
- Введите параметр формы k — значения выше 1 моделируют износ, k=1 соответствует экспоненциальному распределению, значения ниже 1 моделируют ранние отказы.
- Введите параметр масштаба λ, который представляет характерную наработку (момент, к которому примерно 63,2% изделий уже откажут).
- Введите значение x, для которого нужно оценить распределение — обычно это время, расстояние или уровень нагрузки.
- Нажмите «Вычислить», чтобы получить PDF, CDF, надежность, интенсивность отказов, среднее, медиану, моду, дисперсию и стандартное отклонение.
- Используйте кнопки примеров, чтобы мгновенно загрузить заранее заданные инженерные или экологические сценарии.
Часто задаваемые вопросы о распределении Вейбулла
Что на практике означает параметр формы k?
Параметр формы k определяет характер интенсивности отказов. При k < 1 интенсивность отказов снижается со временем — преобладают ранние дефекты. При k = 1 интенсивность отказов постоянна — это чисто случайные отказы. При k > 1 интенсивность отказов растет — износ является доминирующим механизмом отказа. У большинства механических компонентов k находится в диапазоне от 1 до 4.
Что такое функция надежности и как ее использовать?
Надежность R(x) = 1 − F(x) показывает вероятность того, что компонент выживет после момента x. Для планирования обслуживания или гарантийных сроков выбирают допустимую вероятность отказа и находят соответствующее x. Например, R(x) = 0,90 означает, что 90% изделий, как ожидается, выживут после x.
Почему CDF всегда равна примерно 63,2% при x=λ?
При x = λ показатель в формуле CDF становится (λ/λ)^k = 1, поэтому F(λ) = 1 − e⁻¹ ≈ 0,6321. Это верно для любого значения k, поэтому λ — универсальная характерная наработка: к моменту параметра масштаба откажут 63,2% изделий независимо от формы.
Что такое интенсивность отказов и когда она важна?
Интенсивность отказов h(x) — это мгновенная интенсивность отказов в момент x при условии выживания до этого момента. В теории надежности ее используют для планирования профилактического обслуживания. Когда h(x) растет (k > 1), заменять детали до достижения высокого возраста риска экономически выгодно. Когда h(x) постоянна (k = 1), момент замены статистически не важен.
Чем среднее распределения Вейбулла отличается от параметра масштаба?
Параметр масштаба λ — это момент, к которому отказали 63,2% изделий; это не средняя наработка. Среднее равно λ · Γ(1 + 1/k). При k=1 (экспоненциальное распределение) среднее = λ. При k=2 среднее примерно 0,886 λ. При k=3.44 среднее примерно равно λ. Значит, среднее может быть как выше, так и ниже λ в зависимости от формы.