Gamma 函數計算器 - 線上計算 Gamma(z)
使用高精度 Lanczos 近似計算任意實數的 Gamma 函數。
輸入實數 z（不包括 0 和負整數），即可立即計算 Gamma 函數值。
Gamma 函數計算器 - 線上計算 Gamma(z)
使用高精度 Lanczos 近似計算任意實數的 Gamma 函數。
輸入一個實數。範例：4、0.5、-1.5
關於 Gamma 函數
Gamma 函數記作 Gamma(z)，是數學中最重要的特殊函數之一。它把階乘概念延伸到除非正整數以外的所有複數。對任意正整數 n，都有 Gamma(n) = (n-1)!，因此它是階乘運算的自然推廣。此函數最早由萊昂哈德·歐拉在 18 世紀提出，此後在純數學、理論物理與工程等領域都不可或缺。
對於正實數，Gamma 函數由積分 Gamma(z) = integral from 0 to infinity of t^(z-1) * e^(-t) dt 定義。該積分對所有實部為正的複數絕對收斂。對於其他取值，函數透過解析延拓來定義。值得注意的是，Gamma(z) 在 z = 0, -1, -2, ... 處有一階極點，並且在複平面的其他位置都是解析的。
Gamma 函數滿足幾個基本恆等式。遞迴關係 Gamma(z+1) = z*Gamma(z) 或許最重要，因為它對應階乘遞迴 n! = n*(n-1)!。另一個關鍵恆等式是反射公式：Gamma(z)*Gamma(1-z) = pi/sin(pi*z)，它連結實軸兩側的函數值。倍增公式 Gamma(z)*Gamma(z+1/2) = sqrt(pi)*2^(1-2z)*Gamma(2z) 也被廣泛使用。
在實務上，Gamma 函數會出現在 Gamma 分布、Beta 分布等機率分布中。它在統計學中用於表示許多連續分布的正規化常數。在組合數學中，它把二項式係數推廣到非整數參數。在物理學中，它出現在量子力學、統計力學、弦理論以及費曼圖計算中。
本計算器使用 Lanczos 近似，可為實數參數提供極高精度（通常為 15 位或更多有效數字）。此近似透過含有精心選取係數的有理函數乘積來表示 Gamma(z+1)。它計算效率高，是大多數軟體函式庫的首選方法，包括 Python 的 math.gamma 以及許多科學計算套件。無論你是學習特殊函數的學生、計算積分的工程師，還是處理連續分布的統計學家，此工具都能提供即時且可靠的結果。
範例
常見 Gamma 函數值及其意義：
| z | Gamma(z) | 說明 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | Gamma(1) = 0! = 1 |
| 2 | 1 | Gamma(2) = 1! = 1 |
| 3 | 2 | Gamma(3) = 2! = 2 |
| 4 | 6 | Gamma(4) = 3! = 6 |
| 5 | 24 | Gamma(5) = 4! = 24 |
| 0.5 | 約 1.7724539 | 半整數值，等於 sqrt(pi) |
使用方法
- 在「數值 (z)」欄位中輸入一個實數。可以使用整數、小數或負的非整數值。
- 按一下「計算」，使用 Lanczos 近似計算 Gamma(z)。
- 查看下方顯示的結果。對於正整數 n，可驗證 Gamma(n) = (n-1)!。
- 使用「重設」按鈕清除輸入並開始新的計算。
- 請注意，函數在 z = 0、-1、-2 等處未定義；輸入這些值時會顯示錯誤訊息。
常見問題
什麼是 Gamma 函數？
Gamma 函數 Gamma(z) 是階乘函數在實數與複數上的推廣。對於正整數，Gamma(n) = (n-1)!。它在正實數 z 上由反常積分定義，並透過解析延拓擴展到複平面的大部分區域。
為什麼 Gamma 函數在 0 和負整數處未定義？
在 z = 0, -1, -2, ... 處，Gamma 函數存在極點，會發散到正無窮或負無窮。這可由遞迴關係 Gamma(z+1) = z*Gamma(z) 得出：除以 z 會在 z 為非正整數時引入奇點。
Gamma(n) 與階乘有什麼關係？
對任意正整數 n，Gamma(n) = (n-1)!。例如 Gamma(5) = 4! = 24，Gamma(6) = 5! = 120。這個遞迴關係使 Gamma 函數成為階乘函數的自然連續延伸。
這個計算器使用什麼演算法？
本計算器使用 g = 7 的 Lanczos 近似。此方法對實數參數可達機器精度（約 15 位有效數字），也是大多數程式語言和科學函式庫採用的標準方法。
Gamma 函數會回傳負值嗎？
會。對於負的非整數 z，Gamma(z) 會在相鄰極點之間交替變號。例如 Gamma(-0.5) 約為 -3.5449，Gamma(-1.5) 約為 2.3633。對於所有正實數 z，該函數始終為正。
Gamma 函數在實務中用於哪裡？
Gamma 函數出現在機率分布（Gamma、Beta、卡方分布）、組合數學（廣義二項式係數）、物理學（路徑積分、弦理論）和工程學（訊號處理）中。它也用於正規化貝塞爾函數、超幾何函數等特殊函數。