Gamma函數計算器 - 線上計算 Gamma(z)

Gamma 函數記作 Gamma(z)，是數學中最重要的特殊函數之一。它將階乘的概念延伸到所有複數，但非正整數除外。對任意正整數 n，Gamma(n) = (n-1)!，因此它是階乘運算的自然推廣。此函數最早由歐拉於 18 世紀提出，之後在純數學、理論物理與工程學等領域都變得不可或缺。 對於正實數，Gamma 函數定義為積分 Gamma(z) = 從 0 到無窮的 t^(z-1) * e^(-t) dt。這個積分對所有實部為正的複數都絕對收斂。對於其他取值，則透過解析延拓來定義。值得注意的是，Gamma(z) 在 z = 0, -1, -2, ... 處有簡單極點，其餘複平面上則處處解析。 Gamma 函數滿足幾個基本恆等式。遞迴關係 Gamma(z+1) = z*Gamma(z) 或許最重要，因為它與階乘遞迴 n! = n*(n-1)! 完全對應。另一個關鍵恆等式是反射公式：Gamma(z)*Gamma(1-z) = pi/sin(pi*z)，它把實軸兩側的取值連結起來。倍增公式 Gamma(z)*Gamma(z+1/2) = sqrt(pi)*2^(1-2z)*Gamma(2z) 也被廣泛使用。 在實務應用中，Gamma 函數會出現在 Gamma 分布與 Beta 分布等機率分布中。統計學中常用它來表示許多連續分布的歸一化常數。在組合數學中，它可將二項式係數推廣到非整數參數。在物理學中，它會出現在量子力學、統計力學、弦理論以及費曼圖計算中。 本計算器使用 Lanczos 近似，可對實數參數提供極高精度（通常達到 15 位或更多有效數字）。此近似透過將 Gamma(z+1) 表示為一個包含精心挑選係數的有理函數乘積來實現。它計算效率很高，也是大多數軟體函式庫的首選方法，包括 Python 的 math.gamma 以及許多科學計算套件。無論你是學習特殊函數的學生、計算積分的工程師，還是處理連續分布的統計學家，這個工具都能提供即時且可靠的結果。