高斯-喬丹消元計算器 - 求解線性方程組
透過將增廣矩陣轉為最簡列階梯形，求解線性方程組。
輸入線性方程組的係數，設定矩陣維度，然後點擊「求解」即可取得完整解。
高斯-喬丹消元計算器 - 求解線性方程組
透過將增廣矩陣轉為最簡列階梯形，求解線性方程組。
輸入每個方程的係數。最後一欄是常數項（b）。
| x1 | x2 | | | b |
|---|---|---|---|
| | | |||
| | |
關於高斯-喬丹消元
高斯-喬丹消元是一種系統化的線性方程組求解演算法，它透過對增廣矩陣施加初等列運算，直到得到最簡列階梯形（RREF）。這個方法以卡爾·弗里德里希·高斯與威廉·喬丹命名；它在高斯消元的基礎上繼續化簡，直到每個主元都等於 1，且主元所在欄的其他元素都為 0。如此便可直接讀出解，不需要回代。
過程從建立增廣矩陣 [A | b] 開始，其中 A 包含變數係數，b 保存每個方程右側的常數項。接著套用三種列運算：交換兩列、以非零純量乘上一列，以及把某列的倍數加到另一列。這些操作不會改變方程組的解集，因此最後得到的 RREF 矩陣與原方程組等價。
n 個方程、n 個未知數的方程組可能恰有一個解（當係數矩陣滿秩時）、沒有解（當方程組不相容時，通常表現為左邊全 0 而右側非 0 的一列），或者有無窮多解（當方程組相依，且主元欄數少於變數數時）。高斯-喬丹消元可以清楚辨識這三種情況。
這個方法在高等線性代數課程中被廣泛教授，因為它為解任意線性方程組提供了清楚且具步驟性的流程。在實務上，數值版本通常會使用部分選主元來提升穩定性並減少捨入誤差。高斯-喬丹消元也是計算矩陣反矩陣、求解最小平方法問題以及計算零空間的基礎。
本計算器對 2x2、3x3 與 4x4 方程組實作了帶部分選主元的高斯-喬丹消元。它會同時顯示完整的 RREF 矩陣與解的數值，讓你既能得到結果，也能理解方程組的代數結構。
範例
具代表性的線性方程組及其解：
| 方程組 | 解 | 備註 |
|---|---|---|
| 2x + y = 5, 4x + 3y = 11 | x1 = 2, x2 = 1 | 2x2 唯一解 |
| 2x + y + z = 8, x + 3y - z = 10, x + y + 2z = 7 | x1 = 2, x2 = 3, x3 = 1 | 3x3 唯一解 |
| x + y = 3, 2x + 2y = 6 | 無窮多解 | 相依方程組 |
| x + y = 3, x + y = 5 | 無解 | 不相容方程組 |
使用方法
- 使用尺寸按鈕選擇方程數量（列）與變數數量（欄）。
- 在對應的矩陣儲存格中輸入每個變數的係數。最後一欄填入常數項。
- 點擊「求解」以執行帶部分選主元的高斯-喬丹消元。
- 從「解」面板讀取答案。如果顯示每個變數的唯一數值，那就是結果。
- 檢視下方的 RREF 矩陣，以理解代數結構或驗證計算。
常見問題
什麼是高斯-喬丹消元？
高斯-喬丹消元是高斯消元的延伸，它會把增廣矩陣一直化簡到最簡列階梯形（RREF）。不同於需要回代的高斯消元，高斯-喬丹法會直接產生可讀出解的矩陣。
什麼是最簡列階梯形（RREF）？
當每個首非零元素（主元）都是 1、主元欄中其他元素都為 0，且主元由左至右往下排列時，矩陣就處於 RREF。對任何給定矩陣而言，RREF 是唯一的，並且可直接編碼線性方程組的解。
方程組無解代表什麼？
當消元過程產生形如 [0 0 ... 0 | k] 且 k 非零的一列時，方程組就是不相容的。這表示各方程彼此矛盾，沒有任何點能同時滿足全部方程。
方程組有無窮多解代表什麼？
當 RREF 中的主元數少於變數數，因而留下自由變數時，就會出現無窮多解。每個自由變數都可以取任意實數，形成一族解。解集可構成直線、平面或更高維子空間。
什麼是部分選主元，為什麼要使用它？
部分選主元會交換列，使目前欄中絕對值最大的元素成為主元。這可減少因除以非常小的數而產生的數值誤差，讓浮點運算下的演算法更穩定。
可以用這個方法求矩陣的反矩陣嗎？
可以。要反矩陣 n×n 的矩陣 A，只要將它與 n×n 單位矩陣增廣成 [A | I]，再套用高斯-喬丹消元。如果 A 可逆，結果會變成 [I | A^-1]，便能直接得到反矩陣。這個計算器主要處理增廣方程組，但使用的是相同的列運算。