高斯-約當消元計算器 - 解線性方程組
透過將增廣矩陣轉換為最簡列梯形來求解線性方程組。
輸入線性方程組的係數，設定矩陣維度，然後點擊「求解」即可取得完整解答。
高斯-約當消元計算器 - 解線性方程組
透過將增廣矩陣轉換為最簡列梯形來求解線性方程組。
輸入每個方程的係數。最後一欄是常數項（b）。
| x1 | x2 | | | b |
|---|---|---|---|
| | | |||
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關於高斯-約當消元
高斯-約當消元是一種透過對增廣矩陣施加基本列運算來求解線性方程組的系統性演算法，直到它達到最簡列梯形（RREF）。此方法以卡爾·弗里德里希·高斯與威廉·約當命名，是高斯消元的延伸：它會持續化簡，直到每個主元都等於 1，且主元所在欄的其他元素都為 0。如此一來，就能直接讀出解，而不需要回代。
首先建立增廣矩陣 [A | b]，其中 A 包含變數係數，而 b 保存每個方程右側的常數項。接著應用三種列運算：交換兩列、以非零純量乘上一列，以及將一列的倍數加到另一列。這些操作不會改變方程組的解集，因此最後得到的 RREF 矩陣代表一個等價方程組。
一個包含 n 個方程、n 個未知數的方程組可能有且僅有一個解（當係數矩陣滿秩時）、無解（當方程組不相容時，表現為左側全為 0 而右側非零的一列），或者有無限多解（當方程組相依，且主元欄少於變數數時）。高斯-約當消元可以清楚辨識這三種情況。
這個方法在高等線性代數課程中被廣泛教授，因為它為解任意線性方程組提供了一條清楚、具步驟性的路徑。實務上，數值版本通常會使用部分主元選取來提升穩定性並減少捨入誤差。高斯-約當消元也是計算矩陣反矩陣、求解最小平方問題與計算零空間的基礎。
本計算器針對 2x2、3x3 與 4x4 方程組實作了帶部分主元選取的高斯-約當消元。它會在顯示完整 RREF 矩陣的同時列出解的數值，讓你既能看到結果，也能理解方程組的代數結構。
範例
具代表性的線性方程組及其解：
| 方程組 | 解 | 說明 |
|---|---|---|
| 2x + y = 5, 4x + 3y = 11 | x1 = 2, x2 = 1 | 唯一的 2x2 解 |
| 2x + y + z = 8, x + 3y - z = 10, x + y + 2z = 7 | x1 = 2, x2 = 3, x3 = 1 | 3x3 唯一解 |
| x + y = 3, 2x + 2y = 6 | 無限多解 | 相依方程組 |
| x + y = 3, x + y = 5 | 無解 | 不相容方程組 |
使用方式
- 使用尺寸按鈕選擇方程數（列）和變數數（欄）。
- 在對應的矩陣儲存格中輸入每個變數的係數。最後一欄用於常數項。
- 點擊「求解」以使用部分主元選取執行高斯-約當消元。
- 從「解」面板讀取結果。如果每個變數都顯示唯一數值，那些就是答案。
- 查看下方的 RREF 矩陣，以理解代數結構或驗證計算結果。
常見問題
什麼是高斯-約當消元？
高斯-約當消元是高斯消元的延伸，它會把增廣矩陣一路化簡到最簡列梯形（RREF）。和需要回代的高斯消元不同，高斯-約當法會產生一個可以直接讀出解的矩陣。
什麼是最簡列梯形（RREF）？
當一個矩陣中每個首個非零元素（主元）都等於 1，主元欄中其他元素都為 0，而且主元會由上到下逐步向右移動時，它就處於 RREF。對任意給定矩陣而言，RREF 都是唯一的，並且可以直接表示線性方程組的解。
方程組無解是什麼意思？
當消元過程得到形如 [0 0 ... 0 | k] 且 k 非零的一列時，方程組就是不相容的。這表示這些方程彼此矛盾，不存在同時滿足所有方程的點。
方程組有無限多解是什麼意思？
當 RREF 中的主元數少於變數數，留下自由變數時，就會出現無限多解。每個自由變數都可以取任意實數，從而生成一族解。解集可以是一條直線、一個平面，或更高維的子空間。
什麼是部分主元選取，為什麼要使用它？
部分主元選取會交換列，使目前欄中絕對值最大的元素成為主元。這可以減少除以極小數時造成的數值誤差，讓浮點運算下的演算法更穩定。
這種方法可以用來求矩陣的反矩陣嗎？
可以。要反矩陣化一個 n×n 矩陣 A，只需把它與 n×n 單位矩陣拼成 [A | I]，然後套用高斯-約當消元。如果 A 可逆，結果會變成 [I | A-inverse]，從而直接得到反矩陣。這個計算器主要處理增廣方程組，但同樣的列運算也適用。