最大公因數與最小公倍數計算器
即時找出一組數字的最大公因數（GCF）與最小公倍數（LCM）。
輸入兩個或更多以逗號或空格分隔的正整數，即可同時計算 GCF 與 LCM。
最大公因數與最小公倍數計算器
即時找出一組數字的最大公因數（GCF）與最小公倍數（LCM）。
輸入以逗號或空格分隔的正整數清單，例如 12, 18, 30
關於 GCF 與 LCM
最大公因數（GCF）與最小公倍數（LCM）是數論中最基本的兩個概念。一組整數的 GCF（也稱為最大公約數或 GCD）是能整除其中每個整數且沒有餘數的最大正整數。LCM 則是能被集合中每個數字整除的最小正整數。兩者廣泛出現在數學與實務應用中，從化簡分數到排程與工程問題都會用到。
計算兩個數字 GCF 最有效率的演算法是歐幾里得演算法，它起源於古希臘，至今仍被使用。它會反覆以較大數除以較小數後的餘數取代較大數，直到餘數為零。最後一個非零餘數就是 GCF。例如，GCF(48, 18)：48 = 2 * 18 + 12，接著 18 = 1 * 12 + 6，再來 12 = 2 * 6 + 0，因此 GCF = 6。
知道 GCF 後，可以使用恆等式 LCM(a, b) = |a * b| / GCF(a, b) 計算 LCM。這樣不必列出所有倍數，即使處理較大的數字也很有效率。對於兩個以上的數字，GCF 與 LCM 會以迭代方式計算：GCF(a, b, c) = GCF(GCF(a, b), c)，LCM 亦同。
在日常生活中，GCF 可用來化簡分數：當 GCF(a, b) = 1 時，分數 a/b 已是最簡形式。LCM 則用於不同分母分數的加減運算——公分母就是原本各分母的 LCM。在排程中，LCM 可以告訴你兩個週期性事件何時會重合。例如，如果一個事件每 4 天重複一次，另一個每 6 天重複一次，它們會每 LCM(4, 6) = 12 天重合。
此計算器支援任意數量的正整數，並使用高效的迭代歐幾里得演算法。結果會在瀏覽器中即時計算，不會將任何資料送往伺服器。
範例
GCF 與 LCM 計算範例：
| 數字 | GCF / LCM | 說明 |
|---|---|---|
| 12, 18 | GCF = 6, LCM = 36 | 基本的兩個數字範例 |
| 12, 18, 30 | GCF = 6, LCM = 180 | 三個數字 |
| 7, 13 | GCF = 1, LCM = 91 | 互質數；GCF = 1 |
| 24, 36, 48 | GCF = 12, LCM = 144 | 12 的倍數 |
使用方式
- 在「數字」欄位輸入兩個或更多正整數，並以逗號或空格分隔。
- 點擊「計算」，同時計算 GCF 與 LCM。
- 從左側結果卡讀取 GCF，從右側結果卡讀取 LCM。
- 使用範例按鈕載入預設數字組，並驗證計算器。
- 點擊「重設」清除輸入並開始新的計算。
常見問題
什麼是 GCF（最大公因數）？
兩個或更多整數的 GCF，是能精確整除所有這些整數的最大正整數。例如，GCF(12, 18) = 6，因為 6 是同時整除 12 與 18 且沒有餘數的最大數字。它也稱為 GCD（最大公約數）。
什麼是 LCM（最小公倍數）？
兩個或更多整數的 LCM，是同時為所有這些整數倍數的最小正整數。例如，LCM(4, 6) = 12，因為 12 是能同時被 4 與 6 整除的最小數字。LCM 常用於分數加法中尋找公分母。
GCF 和 LCM 之間有什麼關係？
對任意兩個正整數 a 和 b，其 GCF 與 LCM 的乘積等於這兩個數的乘積：GCF(a,b) * LCM(a,b) = a * b。這個恆等式可在已知 GCF 後快速計算 LCM。例如，GCF(12,18) = 6，因此 LCM(12,18) = 12*18/6 = 36。
兩個數字的 GCF 為 1 代表什麼？
當 GCF(a, b) = 1 時，這兩個數字稱為互質或相對質數。它們除了 1 之外沒有共同因數。例如，7 和 13 互質。任意兩個連續整數一定互質，任何質數與一個不能被它整除的數字也互質。
可以計算兩個以上數字的 GCF 和 LCM 嗎？
可以。對於一組數字，可迭代計算 GCF：GCF(a, b, c) = GCF(GCF(a, b), c)。LCM 也使用相同方法。此計算器可處理任意數量的數字，並自動套用迭代方法。
這個計算器使用什麼演算法？
此計算器使用歐幾里得演算法計算 GCF。給定兩個數字 a 和 b（其中 a >= b），它會反覆計算 a mod b，並以 b 取代 a、以 a mod b 取代 b，直到餘數為零。結果很有效率（O(log min(a,b)) 步），也能良好處理大型數字。