殘差計算器 - 線性迴歸殘差

殘差是觀測值與統計模型預測值之間的差異。在簡單線性迴歸中，第 i 筆觀測的殘差定義為 e_i = y_i − ŷ_i，其中 y_i 是實際觀測值，而 ŷ_i 是最小平方法迴歸直線 ŷ = b₀ + b₁x 所預測的值。 普通最小平方法（OLS）會找出使殘差平方和最小的迴歸直線（SSE = Σe_i²）。本工具使用標準公式計算斜率（b₁）與截距（b₀）：b₁ = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)²，b₀ = ȳ − b₁x̄。 殘差分析是迴歸診斷的基礎步驟。模型配適完成後，應檢視殘差以驗證關鍵假設：線性（殘差對 x 作圖時不應出現系統性圖樣）、同質變異（殘差應大致具有固定變異）、獨立性（殘差不應具有自相關）以及常態性（殘差應近似服從常態分布）。 殘差圖——也就是殘差對預測值或對自變數的散點圖——是主要的診斷工具。若殘差在 0 附近隨機分散且沒有明顯圖樣，代表線性模型是適合的。U 形等系統性圖樣表示非線性，漏斗形表示異質變異，而群聚則可能代表存在具影響力的觀測值或離群值。 決定係數 R² 衡量 y 的變異有多少可由 x 解釋。R² 範圍從 0（模型無法解釋任何變異）到 1（完全配適）。其計算方式為 1 − SSE/SST，其中 SST = Σ(yᵢ − ȳ)²。 這個計算器很適合學習迴歸的學生、進行快速資料品質檢查的分析師，以及在進一步建模前驗證模型配適的研究人員。結果包含完整的迴歸方程式、逐點殘差表、SSE 總和與 R² 值，方便立即解讀。