合併標準差計算器
計算兩個獨立樣本的合併標準差
輸入兩組的樣本數、平均值和標準差，計算合併標準差、t 統計量與 Cohen's d。
合併標準差計算器
計算兩個獨立樣本的合併標準差
樣本 1
樣本 2
關於合併標準差計算器
合併標準差是兩個（或更多）獨立樣本標準差的加權平均，用於比較具有相同母體變異數的群組。它是獨立樣本 t 檢定以及許多其他推論統計程序的核心概念。
合併標準差的公式為：sp = √[((n₁−1)s₁² + (n₂−1)s₂²) / (n₁+n₂−2)]，其中 n₁ 和 n₂ 為樣本數，s₁ 和 s₂ 為樣本標準差。分母 n₁+n₂−2 代表兩樣本比較的總自由度。
合併標準差假設變異數同質性——也就是兩個樣本來自變異數相同的母體。使用合併估計前應檢查此假設（例如使用 Levene 檢定或 Bartlett 檢定）。當變異數不相等時，應優先使用 Welch t 檢定，因為它不會合併變異數。
除了合併標準差，本計算器也提供合併變異數 (sp²)、總自由度、兩樣本 t 統計量，以及作為標準化效果量的 Cohen's d。Cohen's d = (mean₁ − mean₂) / sp，會以合併標準差為單位量化平均值差異的實務意義。
Cohen's d 的常用基準：約 0.2 視為小效果，0.5 為中等效果，0.8 或以上為大效果。這些門檻可協助心理學、醫學、教育與社會科學中的解讀。
合併標準差也用於計算兩個平均值差異的信賴區間、在統合分析中合併跨研究的效果量，以及在品質管制中彙整不同生產批次的變異性估計。
實務應用包括臨床試驗（比較治療組與對照組）、產品分析中的 A/B 測試（比較轉換率）、教育研究（比較不同班級測驗分數的變異性），以及工業品質管制（合併多條產線的缺陷率估計）。
請記住：合併標準差同時利用兩組資訊，因此比任一單一樣本標準差更能精確估計共同母體標準差。
範例
這些範例展示在不同兩樣本情境下如何計算合併標準差。
| 輸入 | 合併標準差 | 情境 |
|---|---|---|
| n₁=10, x̄₁=50, s₁=2; n₂=15, x̄₂=55, s₂=3 | sp ≈ 2.669 | 樣本數不相等，平均值不同 |
| n₁=20, x̄₁=30, s₁=4; n₂=20, x̄₂=35, s₂=4 | sp = 4.000 | 樣本數與標準差相等，純平均 |
| n₁=30, x̄₁=100, s₁=10; n₂=30, x̄₂=105, s₂=12 | sp ≈ 11.045 | 較大樣本，標準差相近 |
| n₁=5, x̄₁=8, s₁=1.5; n₂=8, x̄₂=10, s₂=2 | sp ≈ 1.824 | 小樣本，權重偏向較大的組 |
如何使用此計算器
- 輸入第一組的樣本數 (n₁)、平均值 (x̄₁) 和標準差 (s₁)。
- 輸入第二組的對應數值 (n₂, x̄₂, s₂)。樣本數必須至少為 2。
- 點選「計算」以求得合併標準差、合併變異數、自由度、t 統計量與 Cohen's d。
- 在等變異數假設下，將合併標準差解讀為共同母體標準差的最佳估計。
- 搭配 t 統計量與自由度查詢 t 分配表，以判定統計顯著性；或查看 Cohen's d 評估效果量。
常見問題
什麼是合併標準差？
合併標準差 (sp) 將兩個獨立樣本的變異數估計合併為單一、更精確的估計。它是兩個樣本變異數依自由度加權的平均，並假設兩個母體具有相同的潛在變異數。
什麼時候應使用合併標準差？
當你假設兩組之間具有變異數同質性時，例如傳統兩樣本 t 檢定，可使用合併標準差。如果初步檢定（Levene、Bartlett）顯示變異數差異顯著，應改用不要求變異數相等的 Welch t 檢定。
Cohen's d 是什麼，該如何解讀？
Cohen's d 是標準化效果量，以合併標準差為單位表示平均值差異。約 0.2、0.5 和 0.8 通常分別稱為小、中、大效果。較大的 Cohen's d 表示兩組相對於合併變異性而言分離程度高。
為什麼公式要除以 n₁+n₂−2？
分母 n₁+n₂−2 表示估計兩個樣本平均值所消耗的總自由度。使用自由度（而非 n₁+n₂）可得到母體變異數的無偏估計。每個樣本向合併估計貢獻 nᵢ−1 個自由度。
合併標準差可以用於兩個以上的組嗎？
可以——合併標準差可擴展到 k 個組，公式為 sp = √[Σ(nᵢ−1)sᵢ² / Σ(nᵢ−1)]。此一般化用於 ANOVA，其中單一組內合併標準差（均方誤根）作為共同變異數估計。
樣本數如何影響合併標準差？
較大的樣本在合併估計中具有較高權重。如果 n₁ >> n₂，合併標準差會主要由第一個樣本的變異數主導。這反映更多資料能提供更可靠變異數估計的原則，也代表當某一樣本大得多時，離群值或等變異數假設違反會造成更大影響。