卜瓦松分布計算器

卜瓦松分布是統計學與應用數學中最重要的離散機率分布之一。它以法國數學家西梅翁·德尼·卜瓦松命名，用於描述在固定時間或空間區間內，當事件彼此獨立並以已知且固定的平均速率發生時，出現特定事件次數的機率。 此分布完全由單一參數 λ (lambda) 決定，該參數代表給定區間內事件發生次數的平均值。例如，若客服中心平均每小時接到 10 通電話，則 λ = 10。一小時內恰好接到 x 通電話的機率，就服從該 lambda 的卜瓦松分布。 卜瓦松機率質量函數 (PMF) 為：P(X = x) = (e^−λ × λ^x) / x!，其中 e ≈ 2.71828 是歐拉數，x! 是 x 的階乘。這個優雅的公式可用於計算任意非負整數 x 的精確機率。 卜瓦松分布的一項重要特性是其平均數與變異數都等於 λ。這表示標準差等於 √λ。隨著 λ 增加，分布會變得更對稱，並近似常態分布，這對大型應用相當有用。 本計算器會計算五個關鍵機率值：精確次數的 P(X = x)、嚴格少於 x 個事件的 P(X < x)、至多 x 個事件的 P(X ≤ x)、嚴格多於 x 個事件的 P(X > x)，以及至少 x 個事件的 P(X ≥ x)。這些累積形式是透過在相關範圍內加總 PMF 得到的。 卜瓦松分布廣泛應用於科學、工程、金融與醫學。保險公司用它建立理賠頻率模型；電信工程師用它分析來電到達率與網路封包流量；品質管制團隊用它建模單位面積內的缺陷數；流行病學家則用它建模族群中的疾病發生率。 當試驗次數 n 非常大、成功機率 p 非常小，且 np = λ 時，卜瓦松分布也會作為二項分布的極限情形出現。這種關聯使卜瓦松模型很適合稀有事件建模。 使用本計算器時，請確認你建模的事件確實彼此獨立，並以固定平均速率發生。如果速率在區間內變動，例如網站流量在上班時段較高，標準卜瓦松模型可能不適合，你可能需要使用非齊次卜瓦松過程或其他分布。