維恩圖計算器 - 聯集、交集與差集
立即解決 2 集合與 3 集合的維恩圖問題——從任意集合總數快速找出聯集、交集、獨佔區域與差集。
選擇 2 個或 3 個集合，輸入每個集合的總元素數及其交集，然後按一下計算即可查看維恩圖的每個區域。
維恩圖計算器 - 聯集、交集與差集
立即解決 2 集合與 3 集合的維恩圖問題——從任意集合總數快速找出聯集、交集、獨佔區域與差集。
關於維恩圖計算器
維恩圖是一種用來呈現兩個或多個集合之間關係的視覺化表示。它以圓形（或橢圓）及其重疊區域來表示同時屬於多個集合的元素。維恩圖由英國邏輯學家約翰·維恩於 1880 年提出，之後成為數學、邏輯、統計學、電腦科學、語言學，以及日常推理中最廣泛使用的工具之一。
對於 2 集合維恩圖，有三個重要區域：只屬於 A 的元素、只屬於 B 的元素，以及屬於 A ∩ B 的交集元素。聯集 A ∪ B 代表任一集合中的不同元素總數，計算公式為 |A| + |B| − |A ∩ B|。減去交集可避免對同時出現在兩個圓中的元素重複計數。這個公式奠定了容斥原理的基礎，並可推廣到任意數量的集合。
對於 3 集合維恩圖，會出現七個不同區域：只屬於 A 的元素、只屬於 B 的元素、只屬於 C 的元素、屬於 A ∩ B 但不屬於 C 的元素、屬於 A ∩ C 但不屬於 B 的元素、屬於 B ∩ C 但不屬於 A 的元素，以及位於中心的三重交集 A ∩ B ∩ C。3 集合聯集公式為 |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。三重交集需要加回來，因為它在按每個成對交集各減一次時被減了三次，而它又在按每個集合各加一次時被加了三次，因此必須精確補回一次。
維恩圖的實際應用無所不在。問卷分析師用它來拆解受眾：有多少受訪者只使用平台 A、只使用平台 B，或兩者都使用？資料庫工程師使用與維恩圖區域直接對應的集合運算——UNION、INTERSECT、EXCEPT。醫學研究人員用它分析有多少病患出現症狀 A、症狀 B，或兩者兼具。教育工作者用它來比較與對照概念。市場研究人員用它來理解品牌重疊。在機率論中，維恩圖能立即讓加法規則 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 變得直觀易懂。
本計算器會在計算前驗證輸入：檢查任何交集都不會大於其組成集合的大小，三重交集不會大於任何成對交集，且所有值都不能為負。如果輸入一致，就會計算並以清楚的表格顯示圖中的每個區域。
維恩圖範例
三個真實情境——兩個 2 集合與一個 3 集合——展示計算器的輸出。
| 輸入 | 聯集 | 詳情 |
|---|---|---|
| 2 集合：A=40（籃球）, B=30（網球）, A∩B=10 | A ∪ B = 60 | 僅 A = 30，僅 B = 20，兩者都有 = 10。共有 60 位不同學生至少參與了一項運動。 |
| 2 集合：A=150（小說）, B=100（非小說）, A∩B=75 | A ∪ B = 175 | 僅 A = 75，僅 B = 25，兩者都有 = 75。在 175 位讀者中，有 75 位同時閱讀兩種類型，重疊相當大。 |
| 3 集合：A=60, B=50, C=40, A∩B=30, A∩C=20, B∩C=15, A∩B∩C=5 | A ∪ B ∪ C = 90 | 中心區域 = 5 人同時使用三個平台。僅 A∩B = 25，A∩C 僅 = 15，B∩C 僅 = 10。 |
如何使用維恩圖計算器
- 依照需要分析的組數，選擇 2 集合或 3 集合。
- 輸入每個集合中的元素總數（A、B，以及可選的 C）。
- 輸入交集數值：2 集合時輸入 A ∩ B；3 集合時輸入 A ∩ B、A ∩ C、B ∩ C 和 A ∩ B ∩ C。
- 按一下計算即可查看每個獨佔區域與整體聯集。
- 使用表格下方的範例按鈕，可立即載入真實的問卷或社群資料集。
維恩圖常見問題
什麼是維恩圖？
維恩圖使用重疊圓形來表示集合之間的邏輯關係。兩個圓的重疊部分表示兩個集合共有的元素（交集），而不重疊部分表示只屬於某一個集合的元素（獨佔區域）。
兩個集合的聯集公式是什麼？
聯集公式為 |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|。必須減去交集，因為這些元素在 |A| 中計數一次，又在 |B| 中計數一次；減去 |A ∩ B| 可消除重複計數，使每個元素恰好計數一次。
3 集合聯集公式如何運作？
對於三個集合：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。每個元素先按每個集合各加一次，共加了三次，再把每對交集各減一次，但這會把三重交集多減一次，所以必須再加回來。
「僅屬於 A」是什麼意思？
僅屬於 A 的元素是指屬於集合 A，但不屬於任何其他集合的元素。在 2 集合圖中，僅 A = |A| − |A ∩ B|。在 3 集合圖中，僅 A = |A| − |A ∩ B| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|，需要把先前被減掉兩次的三重交集加回來。
為什麼計算器會拒絕某些輸入組合？
兩個集合的交集不可能大於任一單獨集合，因為交集是兩個集合的子集。同樣，三重交集也不可能大於任何成對交集。計算器會強制執行這些限制，以避免出現數學上不可能的配置。